Fortsatt arbete med uttryck med eleverna, åk6

Lektion 2 fortsätter här med följande lärandemål: att kunna teckna uttryck samt att kunna förstå vad ekvivalenta uttryck innebär.  Att kunna avgöra vem eller vad det är lättast att utgå ifrån när man tecknar ett uttryck.

Vi låter eleverna fundera på följande enskilt en liten stund:

Fredrik har 3 bollar fler än Marie. Om n är antalet bollar som Fredrik har, hur många bollar har Marie uttryckt i n?

Eleverna får sedan diskutera parvis och jämföra hur de har tänkt och även förklara för varandra. Vi går som vanligt runt och lyssnar och ställer stöttande frågor om det behövs såsom -Vem har flest bollar, Fredrik eller Marie? Hur många fler bollar? Hur många bollar har i så fall Marie i förhållande till Fredrik?

Vi lyfter deras tankar i helklass och  får svaren n-3 och några n+3. De som hade svarat n+3 ändrar sig snabbt och utbrister -oj, jag har tänkt fel. Alla blir ense rätt snabbt om n-3.

Vi låter nu eleverna göra egna textuppgifter som passar till just n-3. För de elever som tycker detta var väldigt lätt, ber vi dem försvåra uppgiften men samma uttryck n-3 gäller.

Några elever byter helt enkelt ut texten mer direkt

Johan har 3 fidget spinners fler än Anton. Om n är antalet fidget spinners som Anton har, hur många fidget spinners har Johan uttryckt i n?

medan några ger ett svårare uttryck

Om Olle har n st bilar och Felix har 3 fler bilar än Olle. Lisa har 6 bilar färre än Felix. Hur många bilar har Lisa uttryckt i n?

Nu väljer vi att få med det ekvivalenta uttrycket och suddar och vänder på huvudfrågan.

Eleverna får som exitticket svara på följande:

Fredrik har 3 bollar fler än Marie. Om n är antalet bollar som Marie har, hur många bollar har Fredrik uttryckt i n?

Lektionen avslutas med att vi går igenom vilka fem matematiska förmågor vi tränar och vilken förmåga de känner att de tränat på idag.

Nästkommande inlägg handlar om lektion nummer tre med problemlösning och uttryck.

 

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Planeringsupplägg Sannolikhetslära forts.

Lärandemål: att använda utfallsdiagram vid beräkning av sannolikhet, komplementhändelse

Entryticket: Hur stor är sannolikheten att jag får två kronor om jag singlar två slantar?

Eleverna står (helst utomhus pga yta). Läraren står ett tiotal meter längre bort. Instruktionen till elever är att bilda led där de tror de kommer att ha störst chans att vinna. Läraren kommer att slå två tärningar och säga summan högt. När eleverna hör sin summa flyttar de ett steg framåt. Denna indelning i led ska göras under tystnad så att eleverna har möjlighet att välja summa 1. Detta körs två gånger och den andra gången väljer de ett nytt led. Då finner vi antagligen de flesta runt 6, 7, 8 och visar då att eleverna har tänkt till.

Inomhus resoneras summorna med möjliga utfall och visa ett utfallsdiagram där eleverna tydligt kan se utfallsrummet.

Resonera också kring P(summa 7)=  osv.  Blanda också sannolikheten med en tärning för särskiljning, så eleverna ser kontrasten.

Summa 1:

Summa 2: 1+1

Summa 3: 1+2, 2+1

Summa 4: 1+3, 3+1, 2+2

Summa 5: 1+4, 4+1, 2+3, 3+2

Summa 6: 1+5, 5+1, 4+2, 2+4, 3+3

Summa 7: 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3

Summa 8: 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4

Summa 9: 3+6, 6+3, 4+5, 5+4

Summa 10: 4+6, 6+4, 5+5

Summa 11: 5+6, 6+5

Summa 12: 6+6

Rita ett utfallsdiagram vid singla slant med två mynt samtidigt.

Krona + krona

Krona + klave

Klave + krona

Klave + klave

 

Genomgång komplementhändelse Tärning: P(inte summa 2) = 1 – (1/36)

Exitticket: Hur stor är sannolikheten att du får krona + krona? Se tabell

Hur stor är sannolikheten att du INTE får krona + krona?

Pardiskussion.Uppgift: Klassen har fått uppgifter att arbeta med i par. Jessica och Erik arbetar med den här uppgiften: För att vinna måste du plocka en vit kula ur en påse utan att titta, men du får välja ur vilken påse du ska plocka.

Påse A innehåller 3 svarta och 2 vita kulor

Påse B innehåller 10 svarta och 5 vita kulor

Vilken påse är bäst att plocka ur? Förklara varför.

Jessica:              Hrm, … vilken påse är bäst? Det är flest vita kulor i påse B.

Erik:                    Ja, då är det ju lättare att ta en vit kula! Jessica: Ja fast, …. det är ju fler svarta kulor i påse B också. Då kan man ju lätt få upp en svart också.

Erik:                    Ja det förstås. Men jag skulle i alla fall välja påse B. 5 chanser att ta en vit mot bara 2 i påse A.

Diskutera med varandra.

– Hur tror ni att Jessica och Erik tänker?

– Håller ni med någon av dem? Varför/varför inte?

– Hur skulle ni ha svarat på frågan i uppgiften?

 

Läxa till följande lektion: Se denna film: sannolikhetslära träddiagram

Lärandemål: beroende och oberoende händelser, träddiagram, begrepp återläggning

Rita upp på tavlan, använd magneter eller gör praktiskt med påse och kulor.

Entryticket: Hur stor är sannolikheten att jag först drar en blå magnet och sedan en röd. (med återläggning)

P(blå, röd)=

Pardiskussioner: Lektion. Hur stor är sannolikheten att jag drar en blå magnet? Lägg tillbaka magneten. Hur stor är sannolikheten att jag drar en blå magnet nu? Lägg inte tillbaka magneten denna gång. Hur stor är sannolikheten att jag drar en blå magnet nu?

Hur stor är sannolikheten att jag drar först en blå och sedan en röd? (med återläggning)

P(blå, röd)=

Lägg till färger, lägg till fler magneter, fler exempel

Ta exempel med utan återläggning med pardiskussioner.

Byt ut sannolikheterna till decimaltal som variation

Pararbete: Lägg ett antal magneter i olika färger på tavlan i påsen. Be eleverna själva ställa frågor om sannolikhet i sina problemlösningsböcker utifrån bilden på tavlan. De bestämmer själva hur många dragningar, med eller utan återläggning, decimaltal eller bråktal. Bra frågor och bra lösningar med ett bra matematiskt språk uppmuntras. Problemlösning:

  • Gruppen ska skapa ett eget problem med samma matematikinnehåll. Bra om man varierar sig med decimaltal och bråktal (facit).

 

Kombinatorik (handlar om att räkna på hur många olika sätt man kan välja eller ordna något.)

Lärandemål:Multiplikationsprincipen

Be två elever komma fram till tavlan och bilda kö. Fråga eleverna på hur många sätt kan dessa två personer placera sig. Två kommer alla säga. Ta fram ytterligare en elev, nu är de tre och ställ samma fråga, osv. Skriv på tavlan. Ta fram ytterligare en elev. Kan man se något mönster? Resonera

Ytterligare exempel med kombinationer tex

Välja mellan

Bröd Korv Tillbehör
vanligt varmkorv senap
fullkorn chilikorv ketchup
maxi wienerkorv Rostad lök
  bamsing bostongurka
    räksallad
    Gurkmajonnäs

 

Problemlösning: Glassproblemet i Rika matematiska problem. Eleverna bör redovisa med en valfri metod men också ett träddiagram. Resonera kring lösningsförslagen och värdera dessa

Eleverna tillverkar ett eget liknande problem. Viktigt att de använder minst två olika metoder för att lösa problemet. Byt problem med kompis om tid finnes.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Sannolikhetslära lektion 2 Problemlösning

Denna lektion är inspirerad av Dan Meyers s.k 3-aktare och finns att hitta i original på denna länk

Problemlösningslektion inom Sannolikhetslära: Många problemlösningsuppgifter är tillrättalagda med givna värden och bilder, mått etc. Uppgifter som denna blir istället mer öppna, eleverna måste tänka till om vad de behöver veta, de får också göra uppskattningar.

Lärandemål: problemlösning, uppskattning, förhållanden, bråk, proportioner

Vi startar lektionen med en liten reklamfilm för en chipssort som visar en chipspåse som bjuds runt i en grupp.

Rysk roulette hörs det från elever i klassen. Vi gör klart att denna ryska roulette innebär att chipspåsen går runt och ibland blir det ett väldigt starkt chips.

Vi fortsätter med akt 1, vilket innebär följande film:

Frågan ställs nu till eleverna

Vad är det första frågan som du kommer på? Eleverna får här fritt fråga, det blir lite blandat till att börja med.

  • Vad har det här med matematik att göra?
  • Vem får nästa starka chips?
  • Hur många är det som äter?
  • Hur många chips är det i påsen?
  • Hur många starka chips är det i påsen?
  • Hur stor är sannolikheten att man får ett starkt chips?

Eftersom vårt område är sannolikhetslära och vi är ute efter just en viss frågeställning, så fokuserar vi på följande.

Hur många starka chips finns det i påsen?

Eleverna får nu komma med gissningar helt fritt, vi skriver upp alla gissningar och tar alla gissningar på största allvar. Nästa fundering eleverna får är: Vad behöver du veta för att kunna räkna ut denna fråga?

Eleverna resonerar i par och säger:

  1. Vi behöver veta hur många vanliga chips det finns i påsen!
  2. Vi behöver veta hur stor andel starka chips det finns i påsen! P(starka chips)
  3. Vi behöver veta hur många som äter chipsen?
  4. Vi behöver veta hur många chips det finns i påsen!

Efter ett visst resonemang enas vi om två huvudfrågor

  • Hur stor är sannolikheten att du får ett starkt chips?
  • Hur många chips finns det i påsen?

Vi startar med akt 2 och visar två bilder. Eftersom eleverna kommer behöva bilderna har vi också kopierat dem så de får varsitt. Härifrån följer ett klassiskt EPA-upplägg med Eget arbete, Parvist arbete och Alla.

Dessa bilder fick eleverna.

 

 

 

 

 

 

Eleverna påbörjar sina problemlösningar med blandade metoder. Här följer några lösningsförslag.

 

Det vi märkte eleverna hade svårare för, var att veta vad de egentligen räknade ut. Vad står talet i nämnaren respektive täljaren för? Eleverna fick sedan hitta ett annat sätt att lösa problemet på. Här tydliggjordes för eleverna just detta med, vad är det egentligen eleverna räknar ut. De hade däremot inga större problem med att hitta de värden som var viktiga för undersökningen. Det framkom också diskussioner om vikt, påsens vikt, luftens vikt, vilseledande vikt på påsen samt om det verkligen finns ca 100 chips i en chipspåse.

Detta problem var inte speciellt rikt problem men hade ändå sina poänger.

I slutet av lektionen visades akt 3-lösningen


Prenumerera på nya blogginlägg

Sannolikhetslära lektion 1

Första lektionen

Lärandemål: Förstå de nya begreppen, förstå skillnad på experimentell och teoretisk sannolikhet, göra enkla beräkningar av grundläggande sannolikhet (likformig sannolikhetslära). Förstå att ju fler experimentella försök du gör, desto närmare kommer du den teoretiska sannolikheten (de stora talens lag)

Vi började med en entryticket. Hur stor är sannolikheten att jag får en femma eller en sexa på en tärning? Detta visar vår lägstanivå och där vi måste börja. Många klarade att det är 2/6 men några få visade ?.

Denna lektion är inspirerad av https://illuminations.nctm.org, vilket är ett projekt disignat av The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).

Nya begrepp: P=Probability, chans-risk, gynnsam, utfall, P(x),

Diskutera med eleverna vad formeln innebär:  antalet gynnsamma utfall / totala antalet utfall= teoretisk sannolikhet

Vi frågade om chansen att få krona eller klave. Vi skrev upp, P(klave)= ½ = 50% och P(krona)=1/2= 50% på tavlan. Nästa fråga var chansen att jag kastar en 4:a med sexsidig tärning. Vi skrev P (4) = 1/6 på tavlan. Vi fortsatte med de andra tre spelen, kortlek, chanserna att dra ett rött kort, en ruter eller ruter 5. Vår tavla såg nu ut så här:

P(klave) = ½ = 50 %             P(4) = 1/6  ̴  17%                P(rött kort)= 26/52 = 50%

P(krona) = ½ = 50 %             P(ruter)= 13/52= 25%            P(ruter 5) = 1/52 ̴ 2 %

Teoretiska sannolikheten är sannolikheten för en händelse sker baserat på alla de möjliga utfallen.

Vad innebär en teoretisk sannolikhet? Pardiskussion

Vad innebär i så fall en experimentell sannolikhet? Pardiskussion

antalet gynnsamma utfall/totala antalet försök= Experimentell sannolikhet

Teoretiska sannolikheten har att göra med sannolikheten för händelser som inträffar i teorin. Det är vad som förväntas hända. Likaså har experimentell sannolikhet att göra med beräkningen av sannolikheten man använder resultatet av i ett experiment.

Presentera uppgiften

Aktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material,

Hur stor är chansen?                                       NAMN _____________

Ni kommer att utvärdera olika spel för att hjälpa er förstå sannolikheten. För varje spel, förutsäga vad som kommer att vara mest frekvent, sedan göra experimentet 10 gånger. För varje försök, skriv in utfallet i resultatraden. Om detta matchar ert förväntade utfall, sätt en bock i raden gissning.

  1. Singla en slant

Vilket resultat tror du kommer upp:   Krona Klave

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Kasta en tärning

Vilket resultat tror du kommer upp:   1   2   3   4   5   6

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett svart eller rött kort

Vilket resultat tror du kommer upp:   Rött   Svart

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett kort i rätt färg (klöver, spader, ruter eller hjärter)

Vilket resultat tror du kommer upp:   Klöver (♣)   Spader (♠)   Ruter (♦)   Hjärter (♥)

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett exakt kort

Vilket resultat tror du kommer upp: __________ (e.x., 3♥)

 

RESULTAT
GISSNING

6.I vilket av spelen var dina gissningar mest närmast utfallet? (dvs, vilket spel hade ni flest rätta gissningar)______________________

7. Komplettera tabellen nedan med sannolikheten för varje spel. Använd resultaten från dina experiment ovan för att räkna ut den experimentella sannolikheten.

SPEL GYNNSAMT UTFALL EXPERIMENTELLA SANNOLIKHETEN

relativa frekvensen

TEORETISKA SANNOLIKHETEN
Singla slant Ex Klave ex. 3/10=30%

 

 

ex. 1/2=50%

 

Tärningskast Ex 6  

 

 

 

Dra ett rött kort Ex Rött  

 

 

 

Dra en speciell färg Ex Ruter  

 

 

 

Dra ett exakt kort Ex Ruter 5  

 

8. Jämför den teoretiska och den experimentella sannolikheten för varje spel. Var du nära i något av dem, vilket i så fall?_______________, vaför tror ni?____________

När eleverna avslutade experimenten i frågorna 1 – 5, diskuterade vi resultaten och eventuella påståenden som de hade.  Eftersom urvalsstorlekarna endast var 10 för varje experiment blev inte detta utfall lika. Detta förväntade vi och skulle berika diskussionen senare när eleverna kombinerade alla klassdata.

Vi frågade eleverna om det är användbart eller en bra prognos för sannolikhet om de bara använder 10 försök?. Pardiskussion

Hur många dragningar, kast kan behövas för att få ett resultat som bättre kunde användas för att förutsäga utfall? Pardiskussion. Här fick vi många förslag på svar, allt från 5 till 1 miljon.

Vi kan ge flera exempel där små siffror är inte bra förutsägelse av stort antal resultat:

  • Skulle det vara korrekt att dra slutsatsen att ett mynt alltid flippas huvud eftersom det hände en gång?
  • Om 50% av eleverna i en klass sa att de gillade hiphop, tror du det innebär 50% av eleverna på hela er skola föredrar hiphop?
  • Skulle du anta att om en person kastar en basketboll en gång och gör ett mål från halvplan, att hon är en bra skytt?

Här insåg de att få experimentella resultat med ovanstående frågor, inte var tillräckligt att göra förutsägelser. Hur ska vi få ett större urval? Elevernas förslag var att kombinera hela klassens data tillsammans då det förmodligen visade fler mönster. Vi fyllde i alla gruppers resultat gemensamt på tavlan.

9.

 

SPEL Så här många korrekta gissningar

Hur många rätta gissningar hade vi tillsammans?

EXPERIMENTELLA SANNOLIKHETEN

Hur många försök gjorde vi tillsammans?

Den relativa frekvensen

Antalet gynnsamma händelser/totala antalet försök

Singla slant 7+6+7+4+5+4+4+7+

4+4+4+5+2=63

10×15=150 63/150=0,42=42%
Kast av tärning
Dra ett rött kort
Dra en speciell färg
Dra ett exakt kort

 

10. Blev den experimentella sannolikheten annorlunda i fråga 7 och 9? Varför eller varför inte?____________________________

  1. Jämför nu de teoretiska sannolikheterna i fråga 7 med de experimentella   sannolikheterna i fråga 9? Vad tror du skulle hända om ännu fler försök tillkom?_______________________________________

 

Som en avslutning på denna lektion, diskutera och gör jämförelser med eleverna om teoretiska och experimentella sannolikheten. Beroende på deras data, bör det finnas ett mönster där den experimentella datan börjar att komma närmare de teoretiska beräkningarna. Det är möjligt att även med en klass av uppgifter blir fortfarande några resultat långt från den teoretiska sannolikheten. Om detta uppstår, bör den läggas till diskussionen om arten av sannolikhet. Du vet aldrig vad som kommer att hända med chans. Sannolikhet är bara ett verktyg för att göra förutsägelser.

Om tiden tillåter, diskutera exempelvis casinon och kalibrering, eller tärning. Eller använd ett lyckohjul (digitalt). Påpeka de experimentella och teoretiska sannolikheterna om du snurrar flera gånger. När antalet prövningar ökar, kommer de allt närmare den teoretiska sannolikheten. Förklara för eleverna att detta kallas de stora talens lag.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att arbeta med sannolikhetslära, proaktivitet, inlägg 1

Sannolikhetslära 

Utifrån vårt arbete med statistik där vi gjorde ett förtest kunde vi i frågorna med karaktär av sannolikhetslära uppmärksamma vad eleverna redan kan, vad de har svårare med men också försöka se vilka kritiska aspekter eleverna kan ha inom området. Testet visade att eleverna inte hade några större problem med enkel sannolikhet vid enkla slumpförsök . Däremot när det kom till sammansatta händelser så blev det lite svårare. Detta gäller även kombinatoriken.

Vi fortsätter med att besvara denna fråga: Vad kan de när de kan sannolikhetslära?

Jo, då kan de:

  • Förklara vad som menas med begreppet sannolikhet
  • Räkna med likformig sannolikhetsfördelning
  • Beskriva hur sannolikhet kan bestämmas genom att göra praktiska försök
  • Räkna med kombinationer
  • Att använda utfallsdiagram vid beräkning av sannolikheter
  • Att använda träddiagram vid beräkning av sannolikheter
  • Att räkna med oberoende och beroende händelser

Begrepp:sannolikhet, chans, risk, händelse, möjligt utfall, gynnsamt utfall, multiplikationsprincipen, utfallsdiagram, träddiagram, P(händelse), probability, komplementhändelse, oberoende och beroende händelser, kombinatorik, experimentell sannolikhet.

Dessa kritiska aspekter kunde vi förvänta oss: svårighet med att förstå högst och lägst när det gäller exempelvis tärning, P(högst en trea). Det är nya begrepp som är nya för dem och kan innebära svårigheter. Man kopplar inte ihop bråk med procent.

Följande inlägg behandlar lektion nummer 1 som delvis innehåller praktiskt moment för eleverna.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Når vi målen genom mer problemlösning?

Vi vidareutvecklar våra lektioner i klasserna. Vi har båda varit nyfikna på att testa mer problemlösning på lektionerna, vi ser att vi får med oss alla förmågorna men kan vi vara säkra på att innehållet speglar allt i det centrala innehållet och kan vi vara säkra på att vi får med oss alla i klassen? Det vi tidigare sett när vi arbetar med problemlösning är vilka vinster vi gör med det och att våra elever upplever att de lär sig som mest vid problemlösning. Ett exempel är att addera bråk med olika nämnare. Om eleverna sitter och gör sådana beräkningar, så kommer de också behärska detta för stunden, men frågan är hur länge kunskapen sitter i och när har de användning för detta? Risken är då väldigt stor att det är en kunskap som inte är långlivad och att eleverna har också svårigheter att koppla samman addition av bråk med procentberäkning och då också se när vilket är bäst att använda och varför. Jämfört med att ge ett rikt problem där eleverna tydligt kan se nyttan av att kunna addera bråk och då också efterfråga mer kunskap. Efter att ha studerat olika läroböcker i matematik har vi svårt att se en progression tydligt, de har ofta samma innehåll, en kortare repetition, sedan övning för att sedan lägga på ett nytt moment. Vi förundras över att innehållet i  läroboken för åk 5 har nästan samma innehåll som åk 9 !, då undrar vi vad eleverna egentligen lär sig, vi ställer oss frågan om eleverna kan detta redan i åk 5, borde inte åk 9 har kommit mycket, mycket längre då?

Hur vill vi gå tillväga

Utifrån vilka lärandemål vi har tar vi fram ett problem där vi ser att lärandemålen finns med. Vi löser problemet och försöker hitta så många lösningsförslag som möjligt men också se var svårigheterna eller missuppfattningar kan finnas, vi skapar stödfrågor som kan få eleverna framåt i lösningsförfarandet och vi försöker förutse vilka svårigheter eleverna kan hamna i och då ser vi också vad vi behöver undervisa om. Vi överblickar gruppernas arbete, noterar vilka strategier de har och stöttar dem när de behöver. Det kan hända att de flesta fastnar vid samma ställe och då får vi ta ett litet kortare avbrott för genomgång. Vid nästa lektionstillfälle lyfter vi elevernas olika lösningar. Här är det viktigt att vi sett vilken lösning som bör komma först och varför. Vi måste hela tiden ha  lärandemålen framför oss, samtliga elever bör se kopplingarna mellan de olika lösningarna men också se och följa med på hur olika grupper har tänkt, allt för att ge eleverna fler tankesätt och andra metoder. Härefter får grupperna skapa egna liknande problem, lösa detta och eventuellt byta med klasskamrater. Sista lektionen blir mer uppdelad utifrån önskemål och behov. Det finns elever som vill ha men också efterfrågar mer genomgång men också elever som vill eller behöver träna mera på metodnivå och ytterligare några önskar gå djupare i svårare uppgifter. Detta blir då mer individanpassat och ökar elevernas möjlighet till att bli självreglerande.


Prenumerera på nya blogginlägg

Är elever rädda för ekvationer?

Vi har inte gjort någon djupare undersökning eller analys till det påstådda men det hade varit väldigt intressant att fördjupa sig i vår känsla. Känslan är elevernas rädsla för variabler och då förlängningen av dessa som ekvationer. Vi träffar rätt många elever på vår resa och det som vi reagerar på är deras kollektiva reaktioner för variabler, nästan som tillbakaryggande. Användningen av ekvationer är ju en viktig del i problemlösningen men det kommer inte självmant, dessutom när en ekvation presenteras har förvånansvärt många glömt hur man ens löser en enkel ekvation och då pratar jag ändå högstadium. Vid problemlösning brukar eleverna redovisa sina lösningar och resonera kring dem i grupp. Väldigt ofta saknas den algebraiska metoden men vi lyfter den också. Nu har vi börjat att nyfiket fråga gruppen, vad är det som känns svårt? -Det är när ni skriver X? Vad är det som gör att det känns svårt och jobbigt när ni ser X? -Det ser väldigt proffsigt ut och matematiskt ut svarade en elev. -Jag förstår det inte säger en annan. -Jag vet inte hur jag ska räkna ut den säger en tredje. Detta måste innebära att vi presenterar variabler fel eller på fel sätt när vi introducerar variabler i skolan? I det centrala innehållet för åk 1-3 står det bla

  • De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer,
  • Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse

Ur det centrala innehållet för åk 4-6

  • Obekanta tal och dess egenskaper samt där det finns situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol
  • Enkla algebraiska uttryck och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven
  • Metoder för enkel ekvationslösning

Att arbeta med prealgebra är då extra viktigt, tex att eleverna ser sambandet mellan alla räknesätten, tex 4 +3 =7, men också att 7 – 4 =3 och att då är 7 – 3 =4 eller 4 = 7 – 3, eller 5 · 4 = 20, 20 / 4 = 5, eller 20 / 5 = 4. Då blir det kanske inte så svårt att förstå balansmetoden vid ekvationslösning. En fälla är också när det gäller enkla ekvationer, de är vid introduktion ofta för enkla, dvs eleverna kan lösa dem i huvudet och då lägger de heller inte för mycket kraft i att visa uträkningarna. Hela begreppen och innebörden riskerar då att gå förlorad.

Vi försöker nå elevernas förståelse genom problemlösningen. Tillsammans visar vi ständigt  olika lösningsförslag, värdera för- och nackdelar med varje lösning och försöka värdera dem, d.v.s vilken lösning är mest effektiv eller generell?, försök skapa ett eget liknande matematiskt problem och lös den är också väldigt effektiv vid förståelse av algebra. Vid nästa tillfälle kan man välja några elevers problem alternativt ett nytt problem. När det gäller problemlösning går många problem att lösa med hjälp av algebra. Fler och fler elever väljer att prova algebraiska metoder och skapar då en större förståelse för själva metoden men upptäcker också den kraft en ekvationslösning kan ha. Vi tror också att en fara är att arbeta med ekvationer enbart som ett kapitel i en lärobok har sina fällor, en är att eleven tror att ekvationer endast hör till kapitlet och inte till livet som ett hjälpmedel till lösningar! Via problemlösningen övar vi också på de fem matematiska förmågorna. Vi kanske är på rätt väg om vi vågar nå elevernas förståelse för ekvationslösning, algebra och variabler via problemlösning?

  • formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
  • använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
  • välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,
  • föra och följa matematiska resonemang, och
  • använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Prenumerera på nya blogginlägg

Att skapa självförtroende hos eleverna i matematik

Som tur är blir vi ständigt inspirerade av andra men också av saker vi ser och hör, egna erfarenheter av elever men speciellt vår egna erfarenhet av livet och av skolan. Det här gör att vi som lärare förstår att vara elev i skolan idag är komplext. Från media är bilden att avsaknaden av djupare ämneskunskaper hos lärarna är den störst bidragande orsaken till att eleverna inte når målen i den utsträckning som önskas. Det må ligga en del sanning i detta men många lärare vi träffat på har tillräcklig djupa kunskaper i matematik men svårigheten är att vidareförmedla denna till mindre intresserade elever som heller inte känner någon meningsfullhet med kunskaperna i ämnet. Matematik i skolan är också ett känsligt ämne som enligt elever innebär intelligens. Är du duktig på matematik i skolan så är du också smart, är du inte det är du korkad! Det här tillsammans med övertygelsen av att intelligens är medfödd är en stark bidragande orsak till ett lågt självförtroende hos eleverna och detta föds i tidig ålder. Många gånger har vi frågat elever i den tidiga tonåldern -Hur många går in på en lektion och tänker -det här kommer jag aldrig fatta! Minst hälften räcker upp handen och säkert fler vågar inte erkänna det.

Vi arbetar mycket med att försöka vända den trenden. Här gäller det snabbt att få elever att försöka bryta men också se den negativa spiralen. -Går du in för att -det här kommer jag aldrig att fatta, så är det också det som händer. Det är precis som att skjuta en straff i fotboll, -jag kommer att missa, jag kommer att missa! Du missar alldeles säkert. Nästa lektion ska du tänka -Jag ska fatta detta, jag ska fatta detta! och så utvärderar vi det tillsammans efter lektionen. Det här tillsammans med en uppmaning till eleverna att de måste ställa frågor, de måste våga visa vad det är de inte förstår. Det duger inte att säga -Jag fattar ingenting! Vad exakt är det du inte förstår, var tappade vi dig? Eleverna måste liksom lärarna träna på att ställa de rätta frågorna så att undervisningen går framåt. Om lärarna endast låter de som räcker upp handen svara, vad händer med dem som inte räcker upp handen? Går läraren vidare efter rätt svar är givet? Nej, det som är viktigt är felsvaren, det är först här som undervisningen blir givande och intressant, det är här som eventuella missuppfattningar synliggörs och det är här självförtroendet har möjlighet att växa och därmed också motivationen för matematik.

För att kunna lyckas med detta krävs ett väl inarbetat tillåtande klassrumsklimat som vi även skrivit om i tidigare inlägg. Det är oerhört viktigt att alla i klassrummet lever med undervisningen så väl att allas svar är viktiga och utan dessa kommer vi inte vidare. Det vi strävar efter är att hela klassen är delaktig vid frågeställningar, det innebär att eleven inte svarar läraren i första hand utan svarar till klassen, då ges möjlighet att en annan elev tar hand om svaret och eventuellt vidareutvecklar den, bollandet blir då mellan klasskamrater istället för till läraren endast. Här bör man också tänka på hur placeringen i klassrummet ser ut, sitter alla med ansiktena mot läraren eller kan alla se varandra? Ett annat sätt är som vi också har beskrivit i tidigare inlägg att hela tiden synliggöra vad eleverna kan, vi använder oftast miniwhiteboards till detta eller entry- och exittickets. Eleverna måste vara aktiva, diskutera, vända och vrida på påståenden, bli ägare av sin egen kunskap och utveckling, då finns det inte någon chans till att sova bort lektionen. Det är så vi når eleverna.


Prenumerera på nya blogginlägg

Division med rest

Något gemensamt för många elever vi stött på under åren, ja t.o.m hela klasser så är det här med division med rest. Detta gäller oftast elever som har kort division som metod och det är de flesta idag. Det är nämligen så att antingen har man undvikit tal som ger rest eller så skriver man helt enkelt resten som decimal! Vi är helt övertygade om att vara väldigt noga med att visa vad som händer vid olika algoritmiska uppställningar. Ska vi dividera 28 med 5, så blir inte svaret 5 med 3 i rest utan det blir 5 med 3/5 i rest. Vi vill understryka att det är 3/5 i rest och kan man då 3/5 utantill så kan man skriva 5,6 direkt.

I ”Förstå och använda tal” nämns att man kan skriva 5 med 3 i rest eller som ett bråk 5 3/5 eller 5,6. Det går bra vilket som. Problemet som vi ser det är att man måste vara på det klara med i vilken ordning man undervisar om detta och när, så inte eleverna kommer med en missuppfattning och felaktig metod när de kommer till de högre årskurserna. Om det finns ett ämneskollegium på skolan/skolorna, kan dessa kritiska aspekter synliggöras och undvikas.

Det är naturligtvis så att eleverna måste förstå innehållsdivision och delningsdivision, de måste kunna klara algoritmen 25/5. De måste se att ibland finns det en rest ex. 28/5 = 5 hela och 3 i rest. Vad är resten egentligen, jo det är 3/5 i rest och det är då 0,6.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Lärobjekt Symmetri

Här följer vårt planeringsarbete för symmetri

Vårt lärandeobjekt:

  • I lgr 11 för 4-6 står följande i det centrala innehållet:
  • Symmetri i vardagen, konsten och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras.
  • I syftestexten står följande att eleven ska när de arbetar med symmetri utveckla förmågan att lösa problem, använda analysera och se samband mellan begrepp, välja lämpliga matematiska metoder, föra och följa matematiska resonemang och använda matematikens uttrycksformer när de kommunicera matematiken.
  • Vårt lärandeobjekt blir följande: Eleven ska kunna använda sig av samt förstå begreppet symmetri och sätta in detta i olika sammanhang.

Vilka begrepp behöver vi få med:

Rotationssymmetri, spegelssymmetri, symmetrilinje, räta vinklar, namn på de plana figurerna, kongruent, polygoner, sidor, sträcka, linje, hörn, medelpunkt, diagonal, diameter, likformig, asymmetrisk.

Vad kan de när de kan symmetri:

  • De kan hitta symmetrilinjer i plana figurer
  • De ska veta att det finns två olika sätt att se symmetri och veta skillnaden på dessa.
  • De ska kunna skilja på symmetriska och asymmetriska figurer
  • De ska kunna spegla olika plana figur i linje, sned linje samt vrida den i 90, 180, 270 och 360 grader
  • De ska kunna avgöra när en plan figur har rotationssymmetri och när den inte har det.
  • De ska kunna skilja på begreppen diagonaler/diameter och symmetrilinje.
  • De ska kunna sätta ut diagonaler i de plana månghörningarna
  • De ska veta vad en vinkel är och markera dessa i de plana månghörningarna.
  • De ska kunna skilja på begreppen sträcka och linje.
  • De ska kunna begreppen kongruent och likformig och skilja på dessa.
  • De ska kunna använda symmetri i sin omvärld.

 

Detta tror vi kommer att vara kritiskt:

  • Att de inte har med sig begreppet kongruent och ser inte att vridna figurer kan vara likadana
  • Att de inte har med sig begreppet parallell, hörn, motstående, närliggande och på så sätt inte reder ut begreppet diagonal.
  • Att de inte har med sig att ju fler hörn en månghörning har, desto rundare blir den och därför har en cirkel oändligt många hörn.
  • Att de inte vet vad en vinkel är och därför inte kan skilja på räta, trubbiga och spetsiga vinklar.

 

 

Uppgiften de ska utföra:

  • Eleverna får tre olika trianglar (liksidig, likbent och rätvinklig , och en cirkel. De ska kunna visa om och var dessa figurer har sina symmetrilinjer och motivera sina svar. De ska också kunna rotera dessa figurer 90, 180, 270 och 360 grader och berätta om det har någon rotationssymmetri eller inte. När de visar cirkelns symmetrilinjer ska de även kunna koppla detta till begreppen diagonal och diameter, linje och sträcka.

Som lärare är det viktigt att vara uppmärksam att följande progression kan finnas i din elevgrupp:

  • Progressionen: Att kunna bevisa att en cirkel har oändligt många hörn och därför har oändligt många diagonaler.
  • Att kunna förklara varför inte storleken spelar någon roll på figuren när det gäller antal symmetrilinjer utan det är figurens form som avgör detta. Kunna koppla detta till cirkelns oändligt många symmetrilinjer. Att kunna förklara varför de tre olika trianglarna har olika antal symmetrilinjer och benämna dessa med dess rätta namn.

Denna uppgift kan vi kalla den stora entryticketen och denna bör även användas i slutet av lärandeobjektet. På så sätt går vi från helheten till delarna och till helheten igen.

Vad var kritiskt:

  • Att de inte har med sig begreppet kongruent och ser inte att vridna figurer kan vara likadana
  • Att de inte har med sig begreppet parallell, hörn, motstående, närliggande och på så sätt inte reder ut begreppet diagonal.
  • Att de inte har med sig att ju fler hörn en månghörning har, desto rundare blir den och därför har en cirkel oändligt många hörn.
  • Att de inte vet vad en vinkel är och därför inte kan skilja på räta, trubbiga och spetsiga vinklar.
  • De fastnar i att för dem är alla trianglar likadana. En triangel har tre hörn och tre sidor, de ser bara likheterna inte skillnaderna
  • Att de inte vet vad likformig och kongruent innebär och vad som skiljer dessa begrepp åt.
  • Att de inte vet vad det innebär med 90, 180, 270 och 360 grader

Vilka delar måste vi undervisa om och i vilken ordning:

Skillnaden mellan kongruent och likformig samt vad varje begrepp innebär

Skillnaden på sträcka och linje

Skillnader och likheter på likbent, liksidig och rätvinklig triangel. Skillnaden på vinklar

Sätta ut diagonaler i en plan månghörning

Grader

Spegelsymmetri:

Rotationssymmetri:

Att avgöra om en figur är symmetrisk eller inte med hjälp av symmetrilinjer och rotation

En cirkel har oändligt många hörn

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg