En lektion för att förstå addition och subtraktion av negativa och positiva tal. Vi har gjort denna i årskurs 6.

Lektionsplanering – Negativa tal

Lärandemål: Att förstå hur vi adderar och subtraherar negativa tal från andra negativa tal men också från positiva tal. Att kunna skilja på operationstecken med tecknet som visar om ett tal är negativt eller positivt. Att få lära sig två nya metoder. Att se ett mönster som leder till en regel. Att förstå att subtraktion innebär en operation där man tar bort något men också en skillnad mellan två tal.

Vi visar tallinjen för att eleverna ska se visuellt att vi har de positiva talen till höger och de negativa talen till vänster.

Vi ställer frågan när behöver man negativa tal i verkligheten. De får diskutera två och två under en kort stund.

Vi visar vilka operationstecken vi har samt åter igen att det finns två olika sorters tal och skillnaden på operationstecken och benämningen om tal är positiva eller negativa.

Vi tar fram elva elever som får en lapp med antingen ett negativt eller ett positivt tal. De får ställa sig i storleksordning och får sedan frågan hur långt du är från 0 och hur stor är då skillnaden mellan ditt tal och 0. Hur stor är skillnaden mellan ditt tal och ditt motsatta tal. De får tal som (-5), (-4), (-3), (-2), (-1), 0, 1,2,3,4,5

Vi skriver på tavlan 5+ (-6) eleverna får lösa på sina Ipads och hålla upp sitt svar. Eleverna får berätta för kamraten hur de tänkte när de löser uppgiften. Vi lyfter deras tankar i helklass. Här är det viktigt att betona att vi adderar talet 5 med en negativ 6.

De får följande entryticket att lösa. De skriver på en färdig lapp som vi delar ut.

12-6

(-12)-6

6-12

(-6)-12

12-(-6)

(-12)- (-6)

6- (-12)

(-6)-(-12)

Vi samlar in dessa och precis som vi trodde var det endast några få uppgifter de klarade av.

Tanken är att de sedan får tillbaka denna entryticket för att se sin egen utveckling.

https://youtu.be/79t-tGH2jJY vi tittar på filmen

Eleverna får sedan en stencil med följande uppgifter att räkna ut enligt den metoden som beskrivs i filmen. De får arbeta två och två.  Vi har placerat uppgifterna i ordningen att de enklaste hamnar först och de uppgifterna där man får använda specialmetoden (som tas upp i filmen) sist.

Uppgiften Kubmetoden pilmetoden
(-7)+4

 

 

 

Här visar vi med ett exempel Här visar vi med ett exempel
(-6)+8=

 

 

 

(-6)+(-8)=

 

 

 

6-8=

 

 

 

8+(-6)=

 

 

 

(-8)-6=

 

 

 

8-(-6)=

 

 

 

(-8)-(-6)=

 

 

 

 

(-6)-8=

 

 

 

6-(-8)=

 

 

 

(-6)-(-8)=

 

 

 

När vi kommer till uppgift 5 visar vi att positiva och negativa tal tar ut varandra och så länge det är lika många av varje sort så finns där ingenting (alltså noll) Vi visar med lika stora legobitar. Blåa är positiva och röda är negativa. Vi gör några exempel med olika mängder av dessa i en burk med addition då samma mängd positiva och negativa tal tar ut varandra. Finns det sedan fler över av något slag så blir summan antingen negativ eller positiv. Sedan gör vi exempel med legobitarna då vi subtraherar (tar bort) tex visar vi att om uppgiften är 4-(-6) så är det en subtraktion som ska utföras där jag ska ta bort en negativ 6 från en positiv 4. Det går ej för jag har inte 6 negativa tal. Då måste jag lägga dit 6 negativa och 6 positiva (det måste vara noll). Vi visar hur värdet fortfarande är 4 i burken. Nu kan jag plocka bort 6 negativa och kvar har jag 10 positiva. Vi visar med kubmetoden samt kommunicerar med symboler. 4-(-6)=4+ (-6)+6- (-6)= 4+6=10

 

Eleverna behöver här förtydligande när det gäller nollinskjutningsmetoden flera gånger samt att visa exempel som 7+3= 10 är fortfarande 7+3=4-4+7+3=10 (likhetstecknets betydelse) Eleverna behöver förstå att om jag lägger till ett visst antal positiva tal så måste jag lägga till lika många negativa tal för att det ska vara det samma som att jag lagt dit noll stycken. De måste också förstå att jag lägger endast dit så många positiva eller negativa tal som jag behöver.

Eleverna får nu göra resten av uppgifterna på sin Ipad, hålla upp sin lösning och tillsammans löser vi den med hjälp av legobitarna och sedan kubmetoden och kommunicerar vår lösning med symboler. Vi fortsätter med nästa uppgift osv.

Denna övning är ett utmärkt sätt att förstå skillnaden på operationen och om talen är positiva eller negativa. Det är också en bra metod för att till slut se mönstret att två lika blir + och två olika blir – , samtidigt som eleverna får en förståelse för varför det blir så här. Med denna metod lägger man tyngdpunkten på att subtraktion innebär att ta bort.

Vi tittar nu på nästa film för att ge eleverna ytterligare en metod att förstå hur man opererar med negativa och positiva tal. Nästa metod lägger tyngdpunkten på att subtraktion man gör ger en differens och denna differens visar man med hjälp av pilar på tallinjen.

https://youtu.be/W3Qq2gDzFsU

Eleverna får ta fram samma stencil och lösa uppgifterna igen men med en ny metod som filmen visar.

Avslutning vi ställer dessa frågor i helklass.

Vilken metod tyckte du var bäst och varför?

Om du tittar på de olika uppgifterna du löst kan du se ett mönster? Här vill vi få fram regeln att två lika blir plus och två olika minus. Vi vill också få fram följande med hjälp av exempel som styrker detta.

Om du adderar två positiva tal blir summan alltid positiv.

Om du subtrahera två positiva tal kan differensen bli negativ eller positiv tex 4-6=(-2) eller 6-4= 2

Om du adderar två negativa tal blir summan alltid negativ.

Om du subtrahera två negativa tal blir differensen antingen negativ eller positiv.

Om du adderar ett positivt tal och ett negativt tal tar de ut varandra och summan blir antingen positiv eller negativ.

Om du subtrahera ett negativt tal och ett positivt tal blir differensen antingen negativ eller positiv.

Exitticket blir att få tillbaka sin entryticket och se om man kan lösa fler uppgifter än förut.

Eleverna har mycket lättare att förstå additionen än subtraktionen och där hamnar vi i en kritisk aspekt som att förstå att subtraktion inte bara innebär att man tar bort något utan det är också en skillnad.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Algebra med sexor. En lektion med likhetstecknet i fokus.

Lektion om likhetstecknets betydelse. Många av exemplen är hämtade från matematiklyftets algebramoduler.

Lärandemålen: att använda likhetstecknet på ett fungerande sätt, att kunna göra jämförelse i en ekvation utan att utföra beräkningar, att förstå att om samma bokstav används flera gånger i samma uttryck måste den representera samma tal.

 

Ge eleverna uppgiften 9+7=_ +8

Låt dem visa på whiteboarden.

Vi skriver ner deras olika svar, vilka var 8, 24 och 16

De ska nu skriva ner hur de kom fram till detta. Dessa tankar samlar vi in. Nedan följer några axplock av citat.

”Jag plussade ihop båda talen och såg hur mycket det saknades på andra sidan, så jag fyllde bara på ”

”Jag tog bort 1 från 9 och la på den på 7 och då blev det 8+8=16 och då måste det vara 8 på andra sidan också”

”Jag adderar 9+7 som svaret är 16. sedan adderar jag 16+8 som svaret är 24. Alltså är hela svaret 24.”

” Först räkna jag ut hur mycket talen blev på ena sidan och sen tog jag reda på hur mycket det skulle stå på ena sidan. För talen ska vara lika stor på båda sidorna av likhetstecknet.”

”först tog jag 9+7 det blev 16. sedan tog jag 8 och räknade upp till 16. det blev 3. Det ska stå 16”

Vi skriver nu upp de tre olika svarsalternativen på tavlan och två och två får de analysera dessa svar, vilket är rätt och vilka är felaktiga för att sedan motivera detta i helklass.

De får nu uppgiften 57+86= _ +84

Denna uppgift får de 10 sekunder på sig att tänka sedan visar de svaren på whiteboarden för att komma fram till vilka elever som kan göra jämförelse utan att utföra beräkningar. De får sedan två och två diskutera fram en strategi för att klara en sådan uppgift på 10 sekunder.

Vi gör några liknande och fler och fler elever klarar att lösa uppgiften på 10 sekunder med hjälp av kamraternas strategier om hur man kan göra jämförelser.

Vi arbetar med följande uppgifter med att eleverna får svara på ett i taget enskilt på sin whiteboard, de håller upp, diskussion parvis och sedan i helklass. Tanken är att de ska komma fram till det som står i andra kolumnen.

 

25= y *y Y kan endast vara ett tal 5
100= x+x X kan endast vara ett tal 50
50=x-y X och y måste här vara olika tal
50=x+y X och y kan här vara olika tal men de kan också vara samma tal (25)
25= x*y X och y kan här vara olika tal men de kan också vara samma tal
99=a+b+c Kan här vara olika tal, två av talen kan vara samma tal och alla tal kan vara samma
99=a+b-c Kan vara olika tal 99= 10+90-1

a och b kan vara samma tal 99= 50+50-1

b och c kan vara samma tal  99=99+3-3

a och c kan vara samma tal 99=3+99-3

a,b och c kan vara samma tal 99=99+99-99

Redan efter tredje uppgiften i tabellen är det någon elev som frågar om x och y måste vara olika tal.

Falskt eller sant

X=X                     Sant

X-X= 1               Falskt

 

 

Eleverna får nu skriva en aritmetisk likhet med ett tal i vänsterled och ett uttryck i högerled.

Tex 12= 8+2+2  Sedan ska de byta ut två eller tre av talen i uttrycket i högerledet mot bokstäver. Det finns en regel: om samma bokstav användas flera gånger i samma uttryck måste den representera samma tal.

Övriga elever eller bänkkompisen ska sedan gissa vilka tal som kan dölja sig bakom bokstäverna. Till exempel skulle en elev kunna skriva 70 = x + y. Här är det viktigt att påpeka att det finns ett ”rätt” förslag i meningen ”det tal som eleven först hade tänkt sig”, men sedan finns det en mängd matematiskt korrekta förslag

Lektionen avslutas med en exitticket: Dessa elever kan ännu inte balansmetoden utan nu arbetar vi enbart med förståelsen för att använda likhetstecknet på ett fungerande sätt men med bokstäver.

2x+x=15 Ta reda på vilket värde x har

Här svarar de flesta elever 5

Vi jämför med dessa två ekvationer.

2x+y= 15            Sant

2x+y= 12            Sant

Vi tittar på våra lärandemål och diskuterar vad vi har lärt oss under lektionen och är rätt överens att de nu känner sig mycket säkrare på det som var lärandemålen.

Citat från eleverna:

”Nu känner jag mig säkrare på hur jag ska tänka när det finns ett likhetstecken”

”Nu vet jag att x och y kan vara samma tal, innan trodde jag att de måste vara olika”

”Jag vet hur jag ska tänka i stället för att hålla på att räkna med stora tal när jag ser en ekvation”

I kommande inlägg beskriver vi vårt fortsatta arbete med algebra i årskurs 6. Nästa inlägg handlar om hur vi fortsätter att arbeta med uttryck med eleverna.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

En större exitticket att göra för att knyta ihop sannolikhet och statistik som avslut på detta område.

En undersökning i Malin klass!                                        NAMN:__________________________________

I klassen har eleverna gjort undersökningar när de jobbar med sannolikhet.

(Eb, Er)

Malin har undersökt hur många gånger hon drar en röd, gul respektive blå kula ur en kulpåse 10 gånger. Hon har satsat på gul så det är den färgen som är mest gynnsam.

Så här ser hennes första tabell ut:

färg Antal gånger
gul 4
röd 3
blå 3

 

Malin säger att typvärdet blev 3

Eva säger att typvärdet blev 4

Anna-Karin säger att typvärdet blev gul

Vem har rätt? Motivera ditt svar!_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Hon inser att om hon ska få en rättvis undersökning måste hon lägga ihop sin undersökning med resten av klassens. De är 20 st i klassen alltså får Malin nu underlag för 20 undersökningar. Detta börjar klassen dokumentera i följande tabell: Du kan dock inte se alla 20 undersökningar i denna tabell då platsen inte räcker till.

färg Undersökning 1 Undersökning

2

Undersökning

3

Undersökning

4

gul 4 5 0 6
röd 3 5 7 2
blå 3 0 3 2

 

 

Hon vill nu använda klassens tabell och göra en frekvenstabell och i den kan du se alla 20 undersökningar men bara när gult kom upp. ( Ep, Eb, Cb, Er, Cr, Em, Cm)

antal gånger det blev gul i en undersökning Avprickning Antal undersökningar

(frekvensen)

0 II 2
2 II 2
3 II 2
4 IIIII 5
5 IIIII 5
6 III 3
7 I 1

 

Åsa säger att medelvärdet på antal gånger det blev gul per undersökning är 4

Anna-Karin säger att medelvärdet på antal gånger det blev gul per undersökning är 2,9

Eva säger att medelvärdet på antal gånger det blev gul per undersökning är 1

Marie säger att medelvärdet på antal gånger det blev gul per undersökning är 1,35

Malin säger att medelvärdet på antal gånger det blev gul per undersökning är 4,44

Har någon av dem rätt? Motivera och beräkna medelvärdet. Du ska också välja ett alternativ som du vet är felaktigt och motivera varför det är felaktigt.____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

 

(Ar, Ap) Två av klassens 20 undersökningar blev strukna då dessa blev fel men medelvärdet för antalet gånger det blev gult förändrades inte. Hur många gånger kan gul ha kommit upp för var och en av dessa två undersökningar som blev strukna. Visa hur du löser uppgiften.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Malin fick nu tre påsar som alla innehåller en blandning av gula och röda kulor. ( Em, Cm, Er, Cr, Eb, Cb)

A                                         B                                         C

 

Tänk dig nu att hon blundar, sticker handen i påsen och tar en kula. Vilken påse ger henne störst chans att få en gul kula. Motivera varför just den påsen ger dig störst chans.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

( Cr)Resonera vad som händer om man i stället byter ut 15 av de 60 röda kulorna i påse B mot blåa. Vilken påse ska hon välja nu. Motivera ditt svar.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(Er, Cr)Titta på kulpåse A.  (använd bilden) Den här gången vill vi dra två kulor. Det finns två olika sätt att göra detta på. Med återläggning (alltså att du lägger tillbaka den kulan du drog) eller utan återläggning (du lägger inte bort kulan du drog) Det blir olika sannolikheter beroende på vilket sätt man väljer. Vid vilken metod är det mest sannolikt att vi ska få två gula kulor. Förklara_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(Cm Am, Cb, Ab, Cp Ap)Hur sannolikt är det att vi ska få två gula kulor då vi drar med återläggning P(gul,gul)?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ar, Cm, Am, Cb, Ab, Cp, Ap)Hur sannolikt är det att vi ska få två gula kulor då vi drar utan återläggning  P(gul,gul)?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

/Marie och åsa

 

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Det handlar inte om att göra formativa bedömningar utan om att göra bedömningar som har en formativ funktion.

Under arbetet med statistik har vi kontinuerligt gjort en pedagogisk bedömning, dvs vi har skaffat belägg för att fatta beslut i vår fortsatta undervisning. Våra beslut måste grundas på saker vi har tagit reda på och detta har våra entry- och exitticket hjälpt oss med.

När eleverna har deltagit i de olika aktiviteterna har vi haft ögonen öppna för att synliggöra deras lärande och sett varje lektion som ett tillfälle till att upptäcka vilka förmågor de visar och på vilken nivå dessa visats på. Denna bedömning har varit positiv och med det menar vi att eleverna måste få göra misstag och blotta det som de inte kan utan att bli bedömda. Det är alltså när de visar att de kan något med en högre kvalitet eller med samma kvalitet som vi gör en anteckning om vad vi sett. Det är viktigt att denna bedömning får en formativ funktion alltså att vi använder denna bedömning för att förbättra elevernas möjlighet att lära och då är det viktigt att vi synliggör för eleven vad vi sett så att han/hon lär sig att skilja på olika kvaliteter i de matematiska förmågorna som finns inbyggda i våra kunskapskrav. Tanken är att eleven ska kunna generalisera det de lärt sig och använda detta i nya områden som kommer att beröras inom matematiken.

När vi valde att låta eleverna arbeta med följande inlämningsuppgift som sedan skulle bedömas var det självklart att utformningen av bedömningssituationen måste utgå från vad jag vill att den ska göra och vad jag ska ha den till. Vi ville att uppgiften skulle vara ett tillfälle för eleverna att sätta ihop alla delar vi arbetat med i en helhet. Vi ville att de skulle tillsammans med en kamrat få möjlighet att lägga arbetet på en högre nivå då de är två i stället för en person. Vi ville ha möjlighet att gå runt och lyssna på grupperna när de resonerade kring svårigheter de hamnade i. När vi bedömt deras arbete utifrån följande uppgiftsspecifikation och bedömningsmall ville vi att det skulle bli tydligt för eleverna att se de olika kvaliteterna på E, C och A nivå. Då vi delat upp uppgiften i de matematiska förmågorna ville vi även få eleverna att rent konkret se vilka delar i uppgiften som hörde till vilken förmåga samt att de kunde se att de kunde visa samma förmåga på många olika delar. Att låta eleverna få se kvaliteter och en riktning i vad som krävs och behöver göras tror vi hjälper dem att generalisera de matematiska förmågorna in i nya utmaningar.

Här nedan ser ni själv uppgiften:

Lärandemål: lägesmåtten, vilseledande diagram, skillnad frekvenstabell och vanlig tabell, skillnad stolp- och stapeldiagram. Att kunna räkna ut lägesmått utifrån en text, tabell och diagram samt välja lämpligt lägesmått.

Ni ska planera och göra en egen undersökning. Ni väljer själva hur många personer ni tillfrågar om det är en sådan fråga ni väljer. Följande ska finnas med:

  • Ni måste redovisa i minst två lämpliga diagram
  • Redovisa era tabeller och diagram både på papper men också i numbers eller excel
  • Gör olika beräkningar av lägesmåtten på era undersökningar och vilket som är det mest lämpliga lägesmåttet att använda
  • Gör ett vilseledande diagram som tydliggör som tydliggör ett budskap
  • Svara skriftligt på följande fråga: om ni skulle fråga 1000 personer, hur kan ni då visa detta i de diagram ni valt, vilka förändringar skulle ni då göra?
  • Skriv vilken slutsats er undersökning gav

Nedan är en checklista som ni kan läsa igenom och tänka kring innan ni påbörjar ert arbete. Diskutera med en kamrat hur ni tänker lägga upp arbetet.

  1. Vilken frågeställning kommer ni ha? Frågar ni om saker, antal eller om förändring?
  2. Går frågan att misstolkas?
  3. Vilken/vilka sorts/sorters tabell/er behöver ni för att markera svaren?
  4. Vilka sorters diagram kommer ni att använda?
  5. Om ni skulle marknadsföra er undersökning, på vilket sätt skulle ni kunna vilseleda för att få fram ert budskap?

Här nedan ser du uppgiftsspecifikationen:

Uppgiftsspecifikation

Uppgiften prövar begreppen lägesmått, tabeller, diagram, vilseledande diagram samt hur dessa kan användas i en egen undersökning. Den prövar också likheter och skillnader mellan diagram och tabeller, samt förmågan att dra slutsatser av befintlig data i en undersökning.

Eleven kan genom sitt arbete visa följande förmågor.

Problemlösning Välja en frågeställning som inte kan misstolkas. Välja vilka diagram som passar bäst i sin undersökning samt reflektera över vilket lägesmått som passar bäst i sin undersökning. Att kunna presentera sin undersökning med en modell som kan användas i sammanhanget och att kunna använda sin modell och sätta in det i ett nytt sammanhang
Metod Använda metoder för att visa hur de kommit fram till lägesmåtten. Använda metoder hur man skapar diagram och tabeller samt hur man kan vilseleda. Använda digital teknik för att presentera data
Begrepp Visa kunskaper om matematiska begrepp och använda dessa i sin undersökning samt beskriva dessa när de växlar mellan olika matematiska uttrycksformer och visar hur begreppen hör ihop. Ex. på begrepp: tabell, frekvenstabell, vilseledande diagram, typvärde, medelvärde, median, x- och y-axeln, stolp-, stapel-, cirkel-, histogram- och linjediagram.
Resonemang Kan resonera hur begreppen hör ihop. Kan resonera kring likheter och skillnader i sin undersökning om de skulle göra om den igen och istället frågat 1000 personer. Drar en slutsats om sitt tillvägagångssätt och resultatets rimlighet och ser något förslag på alternativt tillvägagångssätt. Resonera hur de kan marknadsföra sin undersökning på ett vilseledande sätt.
Kommunikation Eleven kan använda olika sätt att uttrycka sina data på. Eleven kan beskriva olika begrepp på ett matematiskt sätt. Eleven behöver också göra detta digitalt.

 

Eleven kan genom sitt arbete visa följande missuppfattningar och brister:

  • Förstår ej skillnad på stolp- och stapeldiagram
  • Förstår ej att när man vilseleder så behöver an utgå från vad man ska vilseleda
  • Tror att man kan ta reda på alla lägesmåtten i alla undersökningar
  • Tror att det räcker att göra stolpar för att det ska vara ett stolpdiagram
  • Tror att typvärdet alltid måste vara ett värde
  • Blandar ihop vad som ska stå på x- respektive y-axeln
  • Förstår ej skillnad på en vanlig tabell och en frekvenstabell

Uppgiften relaterar till följande centralt innehåll:

  • Tabeller, diagram och grafer samt hur de kan tolkas och användas för att beskriva resultat av egna och andras undersökningar till exempel med hjälp av digatala verktyg. Hur lägesmått kan användas för bedömning av resultat vid statistiska undersökningar.
  • Värdering av valda strategier och metoder.
  • Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer.
  • Enkla matematisk modeller och hur de kan användas i olika situationer.

Här nedan ser du bedömningsmatrisen till uppgiften:

 

 

 

 

 

 

 

E C A
Problemlösning Välja en frågeställning som leder till en undersökning. Välja en frågeställning som inte kan misstolkas och har lämpliga svarsalternativ Välja en frågeställning som leder till data där du kan räkna ut lägesmåtten.
Visa sina data i två diagram Visa dina data i två lämpliga diagram
Formulera en enkel modell som med någon bearbetning kan användas i sammanhanget. Formulera en modell som kan tillämpas i sammanhanget. Formulera en modell som kan tillämpas i sammanhanget och även sätt in detta in nya sammanhang.
Kunna ta reda på något lägesmått i sin undersökning. Kunna ta reda på de lägesmått som går att använda i undersökningen och motivera varför något inte går. Kunna ta reda på de olika lägesmåtten. Motivera om det inte går och varför och reflektera över vilket lägesmått som passar bäst.
Metod Kunna använda en metod för att ta reda på något lägesmått. Kunna använda en metod för att kunna ta reda på alla lägesmått.
Använda ett sätt att skapa ett vilseledande diagram. Använda ett påstående utifrån sin undersökning och med viss bearbetning kunna vilseleda utifrån detta påstående. Utifrån ett påstående med gott resultat lyckas vilseleda
Använda en metod att skapa minst ett diagram och en tabell som är korrekt och som hänger ihop. Använda en metod för att skapa två diagram och en frekvenstabell som är korrekt och som visar samma data. Använda en metod som visar samma data i två diagram och en frekvenstabell som är korrekt och hänger ihop samt ett vilseledande diagram som även detta innehåller samma data.
Använda digital teknik för att presentera sin data.
 eleven har påbörjat ett cirkeldiagram med ungefärliga mått på cirkelsektorn. Eleven gör ett korrekt cirkeldiagram med korrekta mått på cirkelsektorn
Begrepp Kan använda några av de begrepp som förekommer i statistik i sin undersökning på ett fungerande sätt Kan använda de flesta av begreppen i sin undersökning på ett fungerande sätt
Visa att eleven kan beskriva och använda några begrepp när de skapar diagram och tabeller och visar hur begreppen hänger ihop. Visa att eleven kan beskriva och använda de flesta begrepp när de skapar diagram och tabeller och visar hur dessa hänger ihop. Kan använda begreppen och föra välutvecklade resonemang kring likheter och skillnader samt hur de relaterar till varandra när begreppen är användbara i olika sammanhang. Detta visar de i sin slutsats.
Resonemang Kan resonera hur begreppen hör ihop på ett enkelt sätt och det räcker med några få begrepp. Tex kan eleven visa att de behärskar två olika diagram och uttrycker samma data på olika sätt. Kan i beskrivningar av begreppen göra utvecklande resonemang hur begreppen hör ihop tex kan de föra ett resonemang om hur en tabell hör ihop med ett diagram eller tex varför du endast kan ta reda på medelvärde eller median om svaret på frågan i undersökningen avser ett värde. Här kan eleven göra samma som på E och C nivå men visar det på flera ställen.
Kan resonera kring någon likhet och skillnad i sina diagram på ett enkelt sätt om de gjort samma undersökning men frågat 1000 personer. Kan resonera kring likheter och skillnader genom att tydliggöra förändringarna som bör ske för att diagrammen ska vara lämpliga om undersökningen skulle omfatta 1000 personer. Detta gör de på ett utvecklande sätt. För ett välutvecklat resonemang kring båda sina diagram och/eller vilka förändringar de måste göra i frågan.

Visar förståelse för att cirkeln är 100% oavsett hur många de frågar.

Gör en slutsats när det gäller undersökningen och dess rimlighet och ger något förslag på ett sätt som till viss del för undersökningen framåt Eleven visar förståelse för att slutsatsen endast kan dras utifrån det lilla urvalet och inte generellt. Eleven visar förståelse för hur stor en undersökning bör vara för att vara generell.
Resonerar hur de kan marknadsföra sin undersökning vilseledande på ett enkelt sätt  Tex kan de bredda stapeln på svaret som de vill att fokus ska hamna på. Ett annat exempel kan vara att de inte börjar från noll för att visa att de vet strategier som man kan använda för att vilseleda Resonerar hur de kan marknadsföra sin undersökning vilseledande men på ett utvecklande sätt. Eleven visar här att de kan använda sina kunskaper om hur man kan vilseleda och vilseleder på ett sätt så det passar in i det som man vilseleder. Resonerar hur de kan vilseleda sin undersökning på ett välutvecklat sätt. Här kopplar de sitt vilseledande diagram direkt till frågan och vilseleder på ett korrekt sätt.
Kommunikation använda ett enkelt sätt att uttrycka sina data på som går att följa. Använda ett utvecklat matematiskt sätt att uttrycka sina data på som går att följa. Använda ett välutvecklat matematiskt sätt att uttrycka sina data på som går att följa.
Kan beskriva olika begrepp med ett enkelt matematiskt språk. kan beskriva olika begrepp på ett utvecklat matematiskt språk. Kan beskriva olika begrepp på ett välutvecklat matematiskt språk.
  Har visat att eleven kan använda ett kalkylprogram.

När vi bedömde uppgiften använde vi en vanlig överstrykningspenna och markerade då vilka nivåer (kvaliteter) samt vilka olika delar de fått med i sitt arbete under varje förmåga.

Vi tar tacksamt emot feedback på vårt arbete kring statistik och hade då tyckt det var särskilt roligt om någon provade att följa vår planering med andra elever och sedan återkoppla till oss så att vi tillsammans kan göra arbetet bättre.


Prenumerera på nya blogginlägg

Att tolka och värdera samt motivera sina svar. (statistik)

Detta är en fortsättning på föregående inlägg.

Lektion 6: Våra lärandemål är vilseledande diagram. Att kunna se varför de är vilseledande men också kunna förstå hur man själv skapar ett vilseledande diagram när man bestämt sig för vad det är man vill vilseleda.

Till denna lektion hade eleverna i läxa att titta på följande filmer:

del 1 : https://youtu.be/cvKt5Wqg8m8

del 2: https://youtu.be/Gf90TxVZUrg

Båda filmerna handlar om vilseledande diagram.

Eleverna fick sedan göra följande entryticket individuellt:

Vi förde sedan en gemensam diskussion i klassen för att komma fram till varför bilden är missvisade.

Eleverna fick nu arbeta parvis med liknande uppgifter där de fick skriva ner varför diagrammen är vilseledande samt ta ställning hur diagrammen skulle kunna se ut i stället.

Vi diskuterade i helklass vad de kommit fram till och nu var eleverna redo att själva försöka vilseleda en undersökning med hjälp av ett diagram.

De fick lite olika diagram med rubriker vad undersökningen handlat om och parvis fick de nu skriva en ny rubrik som syftade på att vilseleda tex ingen i Sverige gillar sporter eller OLW är den mest köpta chipssorten och sedan skapa ett vilseledande diagram men med rätt data införda.

Lektion 7: Vårt lärandemål är att eleverna ska kunna avgöra vilket lägesmått som passar bäst att använda i olika sorters undersökningar.

Till denna lektion hade eleverna tittat på följande film: https://youtu.be/XofVaKTRKmw tid 12,59 till 18,12 in i filmen

Eleverna fick individuellt göra följande entryticket:

Frågan som eleverna fick till denna uppgift var vad är typvärdet, medelvärdet samt medianen på denna undersökning. Vi gör sedan den tillsammans i helklass. Vi använder elevernas svar och skriver upp dessa på tavlan som är följande:

Typvärdet: Hund, 5 och 2.  Parvis får de sedan diskutera sig fram till rätt svar och vara beredd med en motivering i helkass så att vi kan enas om vilket svar som är rätt och varför.

Medelvärde: Där finns inget medelvärde, 10/4=2,5, 10/10=1 och 4/10=0,4. Vi gör på samma sätt, eleverna får parvis diskutera sig fram vilket svar som är rätt och plocka bort de felaktiga med en motivering.

Medianen: Där finns ingen median, 1,2,2,5,10 alltså är medianen 2 och slutligen hund, hund,hund,hund,hund, katt,katt, häst, fågel, fågel (Hund och katt hamnar i mitten) 2/2=1. Även här enas vi tillslut om vilket svar som är rätt och varför.

Nu har eleverna med sig att det är inte alltid man kan utläsa alla lägesmåtten i en undersökning.

De får nu nästa uppgift som ska lösas individuellt:

Med denna uppgift vill vi få med progressionen att nu kan man ta reda på alla lägesmåtten men vilket är det bästa värdet att använda.

Frågan vi ställer till eleverna blir därför följande: Ta reda på de lägesmåtten du kan ta reda på och bestäm vilket som är det bästa värdet att använda sig av för att ge en rättvis bild av denna undersökning.

Även här får vi felsvar på både median, typvärde och medelvärde och dessa reder vi ut på samma sätt som vid första uppgiften.

Frågor som vi även diskuterar är om det kan finnas flera typvärden och vad är maxgräns för antal typvärde. Viktigt är att eleverna förstår innan vi går vidare att i detta fall är det medianen som är det bästa lägesmåttet och varför.

Vi avslutar denna lektion med en exitticket som har exakt samma matematikinnehåll som den förra men där medelvärdet är det bästa lägesmåttet att använda.

 

Lektion 7-9

Eleverna får knyta ihop alla lärandemål med följande inlämningsuppgift. Denna arbetar de med parvis. Hur vi tänkte kring bedömningen av denna uppgift kommer i nästa inlägg samt hur vi tänker kring bedömning av alla statistiklektioner.

Inlämningsuppgift

Lärandemål: lägesmåtten, vilseledande diagram, skillnad frekvenstabell och vanlig tabell, skillnad stolp- och stapeldiagram. Att kunna räkna ut lägesmått utifrån en text, tabell och diagram samt välja lämpligt lägesmått.

Ni ska planera och göra en egen undersökning. Ni väljer själva hur många personer ni tillfrågar om det är en sådan fråga ni väljer. Följande ska finnas med:

  • Ni måste redovisa i minst två lämpliga diagram
  • Redovisa era tabeller och diagram både på papper men också i numbers eller excel
  • Gör olika beräkningar av lägesmåtten på era undersökningar och vilket som är det mest lämpliga lägesmåttet att använda.
  • Gör ett vilseledande diagram som tydliggör ett budskap
  • Svara skriftligt på följande fråga: Om ni skulle fråga 1000 personer, hur kan ni då visa detta på de diagram ni valt, vilka förändringar skulle ni då göra?
  • Skriv vilken slutsats er undersökning gav och vilka eventuella förändringar ni skulle vilja göra om ni fick chansen

 

Nedan är en checklista som ni kan läsa igenom och tänka kring innan ni påbörjar ert arbete. Diskutera med din kamrat hur ni tänker lägga upp arbetet.

 

  1. Vilken frågeställning kommer ni ha? Frågar ni om saker, antal eller om förändring?
  2. Går frågan att misstolkas?
  3. Behöver ni olika svarsalternativ?
  4. Vilken/vilka sorts/sorters tabell/er behöver ni för att markera svaren?
  5. Vilka sorters diagram kommer ni att använda?
  6. Om ni skulle marknadsföra er undersökning, på vilket sätt skulle ni kunna vilseleda för att få fram ert budskap

 

 

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att arbeta med kontraster. (statistik)

Detta inlägg är en fortsättning på föregående inlägg.

Inför lektion 4 fick eleverna i läxa att titta på följande film som visar olika sorters diagram: https://youtu.be/jaeo_XdWBT0

Våra lärandemål: inför kommande lektioner:

Skillnad på frekvenstabell och vanlig tabell. Skillnad på stolp- och stapeldiagram. När använder du de olika sorterna av diagram (linjediagram, histogram, stolpdiagram, stapeldiagram och cirkeldiagram) Att kunna ta reda på lägesmåtten utifrån en tabell eller ett diagram.

Lektion 4:  Nästa steg var att göra en ny entryticket där de utifrån en frekvenstabell skulle ta reda på medelvärde, typvärde och median. De skulle också redovisa tabellens data i ett diagram. Uppgiften är tagen från skolverkets diagnosmaterial ”diamant” Problemet för många var här att reda ut lägesmåtten eftersom det var ett värde på x-axeln och utifrån deras felsvar kunde vi tillsammans reda ut hur de skulle gå tillväga. Vi pratar även om vad en frekvenstabell är och vad man använder en sådan till.

Resterande tid arbetade de enskilt eller i par med NOMP och då uppgifter där de skulle ta reda på lägesmåtten utifrån en tabell eller ett diagram men också en text. En kritisk aspekt här är att eleverna har mycket svårare att ta reda på lägesmåtten när de ska tolka en frekvenstabell eller ett diagram än vad de har när de utgår från en text.

Lektion 5:

Syftet med denna lektion var främst att eleverna skulle förstå skillnaden mellan ett stapeldiagram och ett stolpdiagram och hur man använder dessa samt skillnaden på en vanlig tabell och en frekvenstabell.

Vi valde att ställa frågan ”hur många syskon har du?” till 5 elever i helklass. Vi dokumenterade deras svar i två olika tabeller på tavlan efterhand som de svarade. Viktigt vad att eleverna tydligt kunde se att detta var exakt samma data vi dokumenterade men på två olika sätt.

Under tiden diskussionen fördes redde vi igen ut begreppet frekvens och vikten av rubriker i de olika kolumnerna samt vilken kolumn som hör till x resp y axeln.

Nu var det dags att göra två olika diagram och eleverna fick diskutera två och två om det skulle vara samma typ av diagram på båda eller ett stolp- och ett stapeldiagram. När vi var färdiga såg det ut så här:

Under tiden vi gjorde dessa diagram så diskuterade vi aspekter som x- och y-axeln. Avstånden mellan värdena samt att ha lika stort värde mellan varje värde på y axeln. Att staplarna ska vara lika breda i ett stapeldiagram. Att när vi har värden på x- axeln så ska vi göra ett stolpdiagram. Vad är ett värde egentligen och vad är en kategori för ibland kan ju en kategori verka vara ett värde som i vårt fall person 1, 2, 3, 4 och 5. vi kontrollerade också att vi fick samma lägesmått på båda uttrycksformerna, vilket vi skulle få eftersom det var samma undersökning. Eleverna fick titta på skillnader och likheter med de två olika sätten att uttrycka sig på med samma data.

Eleverna fick sedan skapa en liknade uppgift med lösningar som de lämnade in som en exitticket.

Nästa inlägg handlar om hur vi fortsatte att arbeta med vilseledande diagram samt hur vet jag när jag ska använda vilket lägesmått. I det inlägget lägger vi också in vår stora exitticket som blir ett sätt att knyta ihop alla de lärandemål vi arbetat med.

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att ha matematikinnehållet klart för sig. (statistik)

Detta inlägg är en fortsättning på föregående inlägg.

Lektion 2 statistik:

Tills denna lektion hade eleverna tittat på två filmer som tog upp typvärde, medelvärde och median.

Medelvärde och medianlänk https://youtu.be/ItH8KZoRkNU?list=PL1LMd1Wsj2JU-W-Xfy7Gy8rwZVCdw8t0S

Typvärdelänken: https://youtu.be/yEFCfh2UjWA

På tavlan stod lektionens lärandemål: att träna alla matematiska förmågor, se sambanden mellan räknesätten och kunna använda sig av denna kunskap samt att förstå och kunna ta reda på medelvärde, median och typvärde.

Vi startade lektionen med att eleverna fick göra en entryticket:

Denna samlade vi in och eleverna kunde efter lektionen be att få ändra i den om de ville. Nu var det dags att presentera dagens problemlösningsuppgift som är tagen från boken 32 rika problem i matematik av Maria Larsson. Eleverna fick arbeta enskilt under några minuter för att sätta sig in i problemet för att sedan lösa problemet parvis. Under tiden eleverna arbetade gick vi runt och ställde stöttande frågor med fokus på att föra deras resonemang framåt och fördjupa sin förståelse för lägesmåtten och skillnaden mellan dessa.

Vid avslutade lektionen med att samla in deras olika lösningar och de som ville ändra i sin entryticket gjorde det. Inför nästa lektion tittade vi i genom lösningarna för att välja tre olika familjer av lösningar som vi tillsammans med eleverna skulle redovisa på nästa lektion.

Lektion 3: Vi gick igenom förra lektionens entryticket. Vi presenterade de olika familjerna av lösningar och använde oss då av elevernas kommunikation i sina häfte som vi fotograferat.

Vi fick förutom intressanta diskussioner när det gäller lösningsmetoder också en naturlig diskussion när det gäller kommunikationsförmågan och eleverna blev uppmärksammade på vad de ska tänka på när de kommunicerar sina lösningar.

Eleverna fick nu lösa ett liknande problem ( samlarbilder) som är hämtat från boken ”rika matematiska problem” med någon omarbetning för att få en progression från ursprungsproblemet.

Vad eleverna upptäckte när de löste detta problem var nu att det var inte ett problem längre utan snarare en uppgift där de fick ytterligare befästa sina kunskaper.

Vad de nu hade visat att de klarade av var att ta reda på lägesmåtten utifrån en text då de har verktygen och metoderna att ta reda på dessa, de har också visat att när de har medelvärdet så kan de använda sambandet mellan räknesätten för att ta reda på mer information. De har också visat att de kan lösa ett matematiskt problem när de har begreppen och metoderna klart för sig. När de löste ursprungsproblemet så hamnade de i svårigheter men med hjälp av stöttande frågor och resonerande tog de sig förbi svårigheterna. Nu var det dags för nästa steg i statistikarbetet. Detta inlägg finns att läsa i morgon.

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att arbeta med statistik i en sjua

 

Statistik kan sägas vara vetenskapen om hur man samlar in, organiserar, tolkar och presenterar data. Vi började med en kort introduktion som handlade om vad som ingår i området statistik, vad det innebär kopplat till vardagslivet samt relationerna mellan statistik och matematik. Vi nämnde även en del begrepp som de skulle få möta som tabell, diagram, graf, statistiska undersökningar, lägesmått. Vi pratade också om vikten av att kunna variera sig mellan olika uttrycksformer för att kunna stärka förmågan att kunna växla mellan olika begrepp. Eleverna behöver förstå att som medborgare måste man kunna avgöra vilken information som är viktig och hur den ska tolkas

Innan vi startade detta område hade vi gjort ett förtest och då sett att vi kommer att behöva undervisa om följande lärandemål: Lägesmåtten (att förstå dessa var för sig och hur du tar reda på dessa mått utifrån en text, tabell eller ett diagram. Att skilja lägesmåtten åt samt att kunna veta när det passar bäst att använda sig av ett eller flera lägesmått.) Diagram (Bli bekant med olika sorters diagram såsom histogramcirkeldiagram, lådagram, stolp-, linje- och stapeldiagram. Att kunna avgöra vilket diagram som passar bäst i olika sammanhang samt skillnaden mellan dessa olika diagram. Eleverna ska både kunna skapa sådana diagram samt kunna läsa av andras.) Eleverna ska förstå vad en frekvenstabell innebär samt när och hur man använder en sådan. Eleven ska förstå vad ett vilseledande diagram är samt kunna skapa ett eget. De ska kunna se vad som är vilseledande i ett diagram och motivera varför det är vilseledande.

När de arbetar med området statistik är det viktigt att de får utveckla alla fem matematiska förmågor och då helst ska de få möjlighet att utveckla alla förmågor på varje lektion. För att riktigt få eleverna komma igång gjorde vi en diskussionsövning som vi tog från NCM och deras strävor.

I de följande tre inläggen beskriver vi mer ingående om hur vi arbetade med våra lärandemål under cirka nio lektioner.


Prenumerera på nya blogginlägg

Vad gör jag för fel?

-Hur många gånger ska jag undervisa om samma sak? -Eleverna kunde ju det förra veckan. -I den klassen går det många som har svårt för matematik. -De har inte fått någon bra undervisning i de lägre åldrarna. –Eleverna lyssnar inte så de får skylla sig själva. -Nu måste vi gå vidare.

Handen på hjärtat, de flesta av oss har någon gång känt, tänkt eller till med sagt det rakt ut någon gång. Är det verkligen så att det beror på eleverna eller kanske är det dags att ställa sig frågan, vad gör jag för fel? För det måste väl ändå bero på vår undervisning att eleverna inte befäster det matematiska innehåll som vi arbetade med under lektion/lektionerna. Oftast ställer sig lärarna just den frågan samt reflekterar över hur de kan göra i stället, de flesta gör säkert om lektionen men på ett annat sätt men lyckas ändå inte. Vad är det då vi kan förändra?

För några år sedan när Dylan Wiliams tankar och förhållningssätt kring en formativ praktik blev stort i Sverige, presenterades också en del verktyg som hjälpte lärarna att synliggöra elevernas lärande. Ett av dessa verktyg som vi då började använda systematiskt i vår undervisning var exitticket. För oss blev det då tydligt om vår undervisning hade varit tillräckligt bra så länge vår exitticket var formulerad så att eleverna inte bara visade något de lärt sig memorera. Det blev ett kvitto på om vi kunde gå vidare eller om vi måste undervisa om samma sak på ett annat sätt vid nästa lektionstillfälle för vi kan ju inte gå vidare om eleverna inte förstår.

Nästa steg var att fundera på, hur ska jag då undervisa i stället så de verkligen ska äga kunskapen och inte bara lära sig det för stunden? Till exempel kunde eleverna uppgift efter uppgift räkna ut arean på olika figurer. Reflektionen blir då naturligtvis att nu förstår de areabegreppet, men när eleverna då fick se en cirkel och samtidigt få svara på frågan, har denna figur någon area så blev svaret att den har ingen area. Det räcker inte att eleverna har en god kunskap om ett begrepp och förstår detta begrepp om de inte kan sätta in denna begreppsuppfattning i olika sammanhang samt att visa på samband med andra begrepp. Vi måste arbeta med att eleverna får urskilja ett begrepp men också särskilja det från andra begrepp. Vi måste alltså visa på skillnader snarare än likheter.

Egentligen är det rätt enkelt. Tänk dig enäggstvillingar. Du är van vid att bara träffa den ena enäggstvillingen och du tycker att du kan känna igen honom eller henne på många saker både rent utseendemässigt men också personligt. Helt plötsligt träffar du båda tvillingarna och du har ingen aning vem som är vem för du har bara lärt dig känna igen den ena tvillingen. För att kunna se skillnad på dem så måste du nu göra en jämförelse och titta på skillnaderna i deras utseende och om du även vill lära känna den andra tvillingen så kräver det att du även lär känna dennes personlighet och snart kommer du att upptäcka inte bara likheterna utan också skillnaderna i deras personlighet. När du har gjort detta kommer du förmodligen inte att ta fel på dem igen.

När vi senare mötte variationsteorin som bygger på variationsmönster, att visa på skillnader, att arbeta utifrån kritiska aspekter samt att generalisera och slutligen transformera sin kunskap känner vi att den teorin hjälper oss att koppla vår praktik till teori och därmed låta vår erfarenhet i praktiken vara underlag för vår egen forskning på en vetenskaplig grund. Vi tror naturligtvis inte på att bara utgå från en speciell teori och försöker därför att ta del av mycket forskning som både ger oss nya tankar men också det som bekräftar att vi är på rätt spår även om vi ofta fortfarande undrar vad gör vi för fel.

Om du är intresserad av att läsa mer om variationsteorin så ser boken ut så här:


Prenumerera på nya blogginlägg

En lektion om positonsystemet för tal i decimalform

 

Denna lektion gjordes i årskurs åtta.

Positionssystemet med decimaltal

Till denna del är det bra att eleverna får använda mini-whiteboards. Ännu bättre är det om de har en whiteboard nerladdad på sin Ipad. Powerpointen är gjord med tanken att ni fyller på tillsammans med eleverna.

När vi gjort denna del får eleverna en uppgift där de ska placera ett visst antal tal på en tallinje. Vi delar in grupperna tre och tre och går runt och lyssnar och ställer stöttande frågor för att se vad vi behöver fokusera på under lektionen efteråt alltså vad kan eleverna och vad kan de inte. Uppgifterna de placerar ut på tallinjen (en lång kassaremsa från 0-1) är följande:

Avrunda till två decimaler 0,675                 avrunda till en decimal 0,675     Valfritt tal mellan 0,2 och 0,3                      Valfritt tal mellan 0,2 och 0,3

Avrunda till tre gällande siffror 0,7759      √0,36

Avrunda till två decimaler 0,77559             3 hundradelar

Avrunda till tre decimaler 0,77559              795/1000

Avrunda till en gällande siffra 0,0756        0,7 * 0,6

0,09                30 hundradelar                      0,175             0,0075/0,01     0,9

3 tiondelar       7/100                                    0,7 * 0,5           0,90

0,001* 0,0001                0,75            7/10                       0,900

0,00075/0,01                0,001/0,1                x²=0,25       0,17

När de är klara med sin tallinje har vi en genomgång om det vi har sett är svårt och eleverna får sedan placera om sina tal på tallinjen, jämföra med varandra och därefter kunna motivera sin placering i helklass. Det som eleverna upplevde svårt var att multiplicera två tal som är mindre än noll. I detta fall så fastnar de på roten ur 0,36 samt o,6*0,7. De har förståelse för att 0,6*2 är lika med 12 tiondelar. alltså att svaret är 1,2 så eleverna har inga svårigheter att multiplicera ett tal mindre än noll med ett heltal. Om de multiplicerar 0,6*0,7 svarar de antingen 4,2  eller 0,42 där det sista talet är rätt. Om de multiplicera 0,06* 0,06 får de detta till 0,36 eller o,0036 där det sista talet är rätt. Eleverna har bra koll på att när de multiplicerar med tal som är mindre än ett så blir svaret ett mindre tal. Vi behöver skapa en förståelse hos eleverna samt ge dem strategier hur de ska tänka när de multiplicerar två tal som är mindre än ett med varandra.


Prenumerera på nya blogginlägg