Sannolikhetslära lektion 1

Första lektionen

Lärandemål: Förstå de nya begreppen, förstå skillnad på experimentell och teoretisk sannolikhet, göra enkla beräkningar av grundläggande sannolikhet (likformig sannolikhetslära). Förstå att ju fler experimentella försök du gör, desto närmare kommer du den teoretiska sannolikheten (de stora talens lag)

Vi började med en entryticket. Hur stor är sannolikheten att jag får en femma eller en sexa på en tärning? Detta visar vår lägstanivå och där vi måste börja. Många klarade att det är 2/6 men några få visade ?.

Denna lektion är inspirerad av https://illuminations.nctm.org, vilket är ett projekt disignat av The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).

Nya begrepp: P=Probability, chans-risk, gynnsam, utfall, P(x),

Diskutera med eleverna vad formeln innebär:  antalet gynnsamma utfall / totala antalet utfall= teoretisk sannolikhet

Vi frågade om chansen att få krona eller klave. Vi skrev upp, P(klave)= ½ = 50% och P(krona)=1/2= 50% på tavlan. Nästa fråga var chansen att jag kastar en 4:a med sexsidig tärning. Vi skrev P (4) = 1/6 på tavlan. Vi fortsatte med de andra tre spelen, kortlek, chanserna att dra ett rött kort, en ruter eller ruter 5. Vår tavla såg nu ut så här:

P(klave) = ½ = 50 %             P(4) = 1/6  ̴  17%                P(rött kort)= 26/52 = 50%

P(krona) = ½ = 50 %             P(ruter)= 13/52= 25%            P(ruter 5) = 1/52 ̴ 2 %

Teoretiska sannolikheten är sannolikheten för en händelse sker baserat på alla de möjliga utfallen.

Vad innebär en teoretisk sannolikhet? Pardiskussion

Vad innebär i så fall en experimentell sannolikhet? Pardiskussion

antalet gynnsamma utfall/totala antalet försök= Experimentell sannolikhet

Teoretiska sannolikheten har att göra med sannolikheten för händelser som inträffar i teorin. Det är vad som förväntas hända. Likaså har experimentell sannolikhet att göra med beräkningen av sannolikheten man använder resultatet av i ett experiment.

Presentera uppgiften

Aktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material,

Hur stor är chansen?                                       NAMN _____________

Ni kommer att utvärdera olika spel för att hjälpa er förstå sannolikheten. För varje spel, förutsäga vad som kommer att vara mest frekvent, sedan göra experimentet 10 gånger. För varje försök, skriv in utfallet i resultatraden. Om detta matchar ert förväntade utfall, sätt en bock i raden gissning.

  1. Singla en slant

Vilket resultat tror du kommer upp:   Krona Klave

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Kasta en tärning

Vilket resultat tror du kommer upp:   1   2   3   4   5   6

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett svart eller rött kort

Vilket resultat tror du kommer upp:   Rött   Svart

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett kort i rätt färg (klöver, spader, ruter eller hjärter)

Vilket resultat tror du kommer upp:   Klöver (♣)   Spader (♠)   Ruter (♦)   Hjärter (♥)

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett exakt kort

Vilket resultat tror du kommer upp: __________ (e.x., 3♥)

 

RESULTAT
GISSNING

6.I vilket av spelen var dina gissningar mest närmast utfallet? (dvs, vilket spel hade ni flest rätta gissningar)______________________

7. Komplettera tabellen nedan med sannolikheten för varje spel. Använd resultaten från dina experiment ovan för att räkna ut den experimentella sannolikheten.

SPEL GYNNSAMT UTFALL EXPERIMENTELLA SANNOLIKHETEN

relativa frekvensen

TEORETISKA SANNOLIKHETEN
Singla slant Ex Klave ex. 3/10=30%

 

 

ex. 1/2=50%

 

Tärningskast Ex 6  

 

 

 

Dra ett rött kort Ex Rött  

 

 

 

Dra en speciell färg Ex Ruter  

 

 

 

Dra ett exakt kort Ex Ruter 5  

 

8. Jämför den teoretiska och den experimentella sannolikheten för varje spel. Var du nära i något av dem, vilket i så fall?_______________, vaför tror ni?____________

När eleverna avslutade experimenten i frågorna 1 – 5, diskuterade vi resultaten och eventuella påståenden som de hade.  Eftersom urvalsstorlekarna endast var 10 för varje experiment blev inte detta utfall lika. Detta förväntade vi och skulle berika diskussionen senare när eleverna kombinerade alla klassdata.

Vi frågade eleverna om det är användbart eller en bra prognos för sannolikhet om de bara använder 10 försök?. Pardiskussion

Hur många dragningar, kast kan behövas för att få ett resultat som bättre kunde användas för att förutsäga utfall? Pardiskussion. Här fick vi många förslag på svar, allt från 5 till 1 miljon.

Vi kan ge flera exempel där små siffror är inte bra förutsägelse av stort antal resultat:

  • Skulle det vara korrekt att dra slutsatsen att ett mynt alltid flippas huvud eftersom det hände en gång?
  • Om 50% av eleverna i en klass sa att de gillade hiphop, tror du det innebär 50% av eleverna på hela er skola föredrar hiphop?
  • Skulle du anta att om en person kastar en basketboll en gång och gör ett mål från halvplan, att hon är en bra skytt?

Här insåg de att få experimentella resultat med ovanstående frågor, inte var tillräckligt att göra förutsägelser. Hur ska vi få ett större urval? Elevernas förslag var att kombinera hela klassens data tillsammans då det förmodligen visade fler mönster. Vi fyllde i alla gruppers resultat gemensamt på tavlan.

9.

 

SPEL Så här många korrekta gissningar

Hur många rätta gissningar hade vi tillsammans?

EXPERIMENTELLA SANNOLIKHETEN

Hur många försök gjorde vi tillsammans?

Den relativa frekvensen

Antalet gynnsamma händelser/totala antalet försök

Singla slant 7+6+7+4+5+4+4+7+

4+4+4+5+2=63

10×15=150 63/150=0,42=42%
Kast av tärning
Dra ett rött kort
Dra en speciell färg
Dra ett exakt kort

 

10. Blev den experimentella sannolikheten annorlunda i fråga 7 och 9? Varför eller varför inte?____________________________

  1. Jämför nu de teoretiska sannolikheterna i fråga 7 med de experimentella   sannolikheterna i fråga 9? Vad tror du skulle hända om ännu fler försök tillkom?_______________________________________

 

Som en avslutning på denna lektion, diskutera och gör jämförelser med eleverna om teoretiska och experimentella sannolikheten. Beroende på deras data, bör det finnas ett mönster där den experimentella datan börjar att komma närmare de teoretiska beräkningarna. Det är möjligt att även med en klass av uppgifter blir fortfarande några resultat långt från den teoretiska sannolikheten. Om detta uppstår, bör den läggas till diskussionen om arten av sannolikhet. Du vet aldrig vad som kommer att hända med chans. Sannolikhet är bara ett verktyg för att göra förutsägelser.

Om tiden tillåter, diskutera exempelvis casinon och kalibrering, eller tärning. Eller använd ett lyckohjul (digitalt). Påpeka de experimentella och teoretiska sannolikheterna om du snurrar flera gånger. När antalet prövningar ökar, kommer de allt närmare den teoretiska sannolikheten. Förklara för eleverna att detta kallas de stora talens lag.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att arbeta med sannolikhetslära, proaktivitet, inlägg 1

Sannolikhetslära 

Utifrån vårt arbete med statistik där vi gjorde ett förtest kunde vi i frågorna med karaktär av sannolikhetslära uppmärksamma vad eleverna redan kan, vad de har svårare med men också försöka se vilka kritiska aspekter eleverna kan ha inom området. Testet visade att eleverna inte hade några större problem med enkel sannolikhet vid enkla slumpförsök . Däremot när det kom till sammansatta händelser så blev det lite svårare. Detta gäller även kombinatoriken.

Vi fortsätter med att besvara denna fråga: Vad kan de när de kan sannolikhetslära?

Jo, då kan de:

  • Förklara vad som menas med begreppet sannolikhet
  • Räkna med likformig sannolikhetsfördelning
  • Beskriva hur sannolikhet kan bestämmas genom att göra praktiska försök
  • Räkna med kombinationer
  • Att använda utfallsdiagram vid beräkning av sannolikheter
  • Att använda träddiagram vid beräkning av sannolikheter
  • Att räkna med oberoende och beroende händelser

Begrepp:sannolikhet, chans, risk, händelse, möjligt utfall, gynnsamt utfall, multiplikationsprincipen, utfallsdiagram, träddiagram, P(händelse), probability, komplementhändelse, oberoende och beroende händelser, kombinatorik, experimentell sannolikhet.

Dessa kritiska aspekter kunde vi förvänta oss: svårighet med att förstå högst och lägst när det gäller exempelvis tärning, P(högst en trea). Det är nya begrepp som är nya för dem och kan innebära svårigheter. Man kopplar inte ihop bråk med procent.

Följande inlägg behandlar lektion nummer 1 som delvis innehåller praktiskt moment för eleverna.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att skapa självförtroende hos eleverna i matematik

Som tur är blir vi ständigt inspirerade av andra men också av saker vi ser och hör, egna erfarenheter av elever men speciellt vår egna erfarenhet av livet och av skolan. Det här gör att vi som lärare förstår att vara elev i skolan idag är komplext. Från media är bilden att avsaknaden av djupare ämneskunskaper hos lärarna är den störst bidragande orsaken till att eleverna inte når målen i den utsträckning som önskas. Det må ligga en del sanning i detta men många lärare vi träffat på har tillräcklig djupa kunskaper i matematik men svårigheten är att vidareförmedla denna till mindre intresserade elever som heller inte känner någon meningsfullhet med kunskaperna i ämnet. Matematik i skolan är också ett känsligt ämne som enligt elever innebär intelligens. Är du duktig på matematik i skolan så är du också smart, är du inte det är du korkad! Det här tillsammans med övertygelsen av att intelligens är medfödd är en stark bidragande orsak till ett lågt självförtroende hos eleverna och detta föds i tidig ålder. Många gånger har vi frågat elever i den tidiga tonåldern -Hur många går in på en lektion och tänker -det här kommer jag aldrig fatta! Minst hälften räcker upp handen och säkert fler vågar inte erkänna det.

Vi arbetar mycket med att försöka vända den trenden. Här gäller det snabbt att få elever att försöka bryta men också se den negativa spiralen. -Går du in för att -det här kommer jag aldrig att fatta, så är det också det som händer. Det är precis som att skjuta en straff i fotboll, -jag kommer att missa, jag kommer att missa! Du missar alldeles säkert. Nästa lektion ska du tänka -Jag ska fatta detta, jag ska fatta detta! och så utvärderar vi det tillsammans efter lektionen. Det här tillsammans med en uppmaning till eleverna att de måste ställa frågor, de måste våga visa vad det är de inte förstår. Det duger inte att säga -Jag fattar ingenting! Vad exakt är det du inte förstår, var tappade vi dig? Eleverna måste liksom lärarna träna på att ställa de rätta frågorna så att undervisningen går framåt. Om lärarna endast låter de som räcker upp handen svara, vad händer med dem som inte räcker upp handen? Går läraren vidare efter rätt svar är givet? Nej, det som är viktigt är felsvaren, det är först här som undervisningen blir givande och intressant, det är här som eventuella missuppfattningar synliggörs och det är här självförtroendet har möjlighet att växa och därmed också motivationen för matematik.

För att kunna lyckas med detta krävs ett väl inarbetat tillåtande klassrumsklimat som vi även skrivit om i tidigare inlägg. Det är oerhört viktigt att alla i klassrummet lever med undervisningen så väl att allas svar är viktiga och utan dessa kommer vi inte vidare. Det vi strävar efter är att hela klassen är delaktig vid frågeställningar, det innebär att eleven inte svarar läraren i första hand utan svarar till klassen, då ges möjlighet att en annan elev tar hand om svaret och eventuellt vidareutvecklar den, bollandet blir då mellan klasskamrater istället för till läraren endast. Här bör man också tänka på hur placeringen i klassrummet ser ut, sitter alla med ansiktena mot läraren eller kan alla se varandra? Ett annat sätt är som vi också har beskrivit i tidigare inlägg att hela tiden synliggöra vad eleverna kan, vi använder oftast miniwhiteboards till detta eller entry- och exittickets. Eleverna måste vara aktiva, diskutera, vända och vrida på påståenden, bli ägare av sin egen kunskap och utveckling, då finns det inte någon chans till att sova bort lektionen. Det är så vi når eleverna.


Prenumerera på nya blogginlägg