Fortsatt arbete med uttryck med eleverna, åk6

Lektion 2 fortsätter här med följande lärandemål: att kunna teckna uttryck samt att kunna förstå vad ekvivalenta uttryck innebär.  Att kunna avgöra vem eller vad det är lättast att utgå ifrån när man tecknar ett uttryck.

Vi låter eleverna fundera på följande enskilt en liten stund:

Fredrik har 3 bollar fler än Marie. Om n är antalet bollar som Fredrik har, hur många bollar har Marie uttryckt i n?

Eleverna får sedan diskutera parvis och jämföra hur de har tänkt och även förklara för varandra. Vi går som vanligt runt och lyssnar och ställer stöttande frågor om det behövs såsom -Vem har flest bollar, Fredrik eller Marie? Hur många fler bollar? Hur många bollar har i så fall Marie i förhållande till Fredrik?

Vi lyfter deras tankar i helklass och  får svaren n-3 och några n+3. De som hade svarat n+3 ändrar sig snabbt och utbrister -oj, jag har tänkt fel. Alla blir ense rätt snabbt om n-3.

Vi låter nu eleverna göra egna textuppgifter som passar till just n-3. För de elever som tycker detta var väldigt lätt, ber vi dem försvåra uppgiften men samma uttryck n-3 gäller.

Några elever byter helt enkelt ut texten mer direkt

Johan har 3 fidget spinners fler än Anton. Om n är antalet fidget spinners som Anton har, hur många fidget spinners har Johan uttryckt i n?

medan några ger ett svårare uttryck

Om Olle har n st bilar och Felix har 3 fler bilar än Olle. Lisa har 6 bilar färre än Felix. Hur många bilar har Lisa uttryckt i n?

Nu väljer vi att få med det ekvivalenta uttrycket och suddar och vänder på huvudfrågan.

Eleverna får som exitticket svara på följande:

Fredrik har 3 bollar fler än Marie. Om n är antalet bollar som Marie har, hur många bollar har Fredrik uttryckt i n?

Lektionen avslutas med att vi går igenom vilka fem matematiska förmågor vi tränar och vilken förmåga de känner att de tränat på idag.

Nästkommande inlägg handlar om lektion nummer tre med problemlösning och uttryck.

 

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Algebra med sexor. En lektion med likhetstecknet i fokus.

Lektion om likhetstecknets betydelse. Många av exemplen är hämtade från matematiklyftets algebramoduler.

Lärandemålen: att använda likhetstecknet på ett fungerande sätt, att kunna göra jämförelse i en ekvation utan att utföra beräkningar, att förstå att om samma bokstav används flera gånger i samma uttryck måste den representera samma tal.

 

Ge eleverna uppgiften 9+7=_ +8

Låt dem visa på whiteboarden.

Vi skriver ner deras olika svar, vilka var 8, 24 och 16

De ska nu skriva ner hur de kom fram till detta. Dessa tankar samlar vi in. Nedan följer några axplock av citat.

”Jag plussade ihop båda talen och såg hur mycket det saknades på andra sidan, så jag fyllde bara på ”

”Jag tog bort 1 från 9 och la på den på 7 och då blev det 8+8=16 och då måste det vara 8 på andra sidan också”

”Jag adderar 9+7 som svaret är 16. sedan adderar jag 16+8 som svaret är 24. Alltså är hela svaret 24.”

” Först räkna jag ut hur mycket talen blev på ena sidan och sen tog jag reda på hur mycket det skulle stå på ena sidan. För talen ska vara lika stor på båda sidorna av likhetstecknet.”

”först tog jag 9+7 det blev 16. sedan tog jag 8 och räknade upp till 16. det blev 3. Det ska stå 16”

Vi skriver nu upp de tre olika svarsalternativen på tavlan och två och två får de analysera dessa svar, vilket är rätt och vilka är felaktiga för att sedan motivera detta i helklass.

De får nu uppgiften 57+86= _ +84

Denna uppgift får de 10 sekunder på sig att tänka sedan visar de svaren på whiteboarden för att komma fram till vilka elever som kan göra jämförelse utan att utföra beräkningar. De får sedan två och två diskutera fram en strategi för att klara en sådan uppgift på 10 sekunder.

Vi gör några liknande och fler och fler elever klarar att lösa uppgiften på 10 sekunder med hjälp av kamraternas strategier om hur man kan göra jämförelser.

Vi arbetar med följande uppgifter med att eleverna får svara på ett i taget enskilt på sin whiteboard, de håller upp, diskussion parvis och sedan i helklass. Tanken är att de ska komma fram till det som står i andra kolumnen.

 

25= y *y Y kan endast vara ett tal 5
100= x+x X kan endast vara ett tal 50
50=x-y X och y måste här vara olika tal
50=x+y X och y kan här vara olika tal men de kan också vara samma tal (25)
25= x*y X och y kan här vara olika tal men de kan också vara samma tal
99=a+b+c Kan här vara olika tal, två av talen kan vara samma tal och alla tal kan vara samma
99=a+b-c Kan vara olika tal 99= 10+90-1

a och b kan vara samma tal 99= 50+50-1

b och c kan vara samma tal  99=99+3-3

a och c kan vara samma tal 99=3+99-3

a,b och c kan vara samma tal 99=99+99-99

Redan efter tredje uppgiften i tabellen är det någon elev som frågar om x och y måste vara olika tal.

Falskt eller sant

X=X                     Sant

X-X= 1               Falskt

 

 

Eleverna får nu skriva en aritmetisk likhet med ett tal i vänsterled och ett uttryck i högerled.

Tex 12= 8+2+2  Sedan ska de byta ut två eller tre av talen i uttrycket i högerledet mot bokstäver. Det finns en regel: om samma bokstav användas flera gånger i samma uttryck måste den representera samma tal.

Övriga elever eller bänkkompisen ska sedan gissa vilka tal som kan dölja sig bakom bokstäverna. Till exempel skulle en elev kunna skriva 70 = x + y. Här är det viktigt att påpeka att det finns ett ”rätt” förslag i meningen ”det tal som eleven först hade tänkt sig”, men sedan finns det en mängd matematiskt korrekta förslag

Lektionen avslutas med en exitticket: Dessa elever kan ännu inte balansmetoden utan nu arbetar vi enbart med förståelsen för att använda likhetstecknet på ett fungerande sätt men med bokstäver.

2x+x=15 Ta reda på vilket värde x har

Här svarar de flesta elever 5

Vi jämför med dessa två ekvationer.

2x+y= 15            Sant

2x+y= 12            Sant

Vi tittar på våra lärandemål och diskuterar vad vi har lärt oss under lektionen och är rätt överens att de nu känner sig mycket säkrare på det som var lärandemålen.

Citat från eleverna:

”Nu känner jag mig säkrare på hur jag ska tänka när det finns ett likhetstecken”

”Nu vet jag att x och y kan vara samma tal, innan trodde jag att de måste vara olika”

”Jag vet hur jag ska tänka i stället för att hålla på att räkna med stora tal när jag ser en ekvation”

I kommande inlägg beskriver vi vårt fortsatta arbete med algebra i årskurs 6. Nästa inlägg handlar om hur vi fortsätter att arbeta med uttryck med eleverna.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Planeringsupplägg Sannolikhetslära forts.

Lärandemål: att använda utfallsdiagram vid beräkning av sannolikhet, komplementhändelse

Entryticket: Hur stor är sannolikheten att jag får två kronor om jag singlar två slantar?

Eleverna står (helst utomhus pga yta). Läraren står ett tiotal meter längre bort. Instruktionen till elever är att bilda led där de tror de kommer att ha störst chans att vinna. Läraren kommer att slå två tärningar och säga summan högt. När eleverna hör sin summa flyttar de ett steg framåt. Denna indelning i led ska göras under tystnad så att eleverna har möjlighet att välja summa 1. Detta körs två gånger och den andra gången väljer de ett nytt led. Då finner vi antagligen de flesta runt 6, 7, 8 och visar då att eleverna har tänkt till.

Inomhus resoneras summorna med möjliga utfall och visa ett utfallsdiagram där eleverna tydligt kan se utfallsrummet.

Resonera också kring P(summa 7)=  osv.  Blanda också sannolikheten med en tärning för särskiljning, så eleverna ser kontrasten.

Summa 1:

Summa 2: 1+1

Summa 3: 1+2, 2+1

Summa 4: 1+3, 3+1, 2+2

Summa 5: 1+4, 4+1, 2+3, 3+2

Summa 6: 1+5, 5+1, 4+2, 2+4, 3+3

Summa 7: 1+6, 6+1, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3

Summa 8: 2+6, 6+2, 3+5, 5+3, 4+4

Summa 9: 3+6, 6+3, 4+5, 5+4

Summa 10: 4+6, 6+4, 5+5

Summa 11: 5+6, 6+5

Summa 12: 6+6

Rita ett utfallsdiagram vid singla slant med två mynt samtidigt.

Krona + krona

Krona + klave

Klave + krona

Klave + klave

 

Genomgång komplementhändelse Tärning: P(inte summa 2) = 1 – (1/36)

Exitticket: Hur stor är sannolikheten att du får krona + krona? Se tabell

Hur stor är sannolikheten att du INTE får krona + krona?

Pardiskussion.Uppgift: Klassen har fått uppgifter att arbeta med i par. Jessica och Erik arbetar med den här uppgiften: För att vinna måste du plocka en vit kula ur en påse utan att titta, men du får välja ur vilken påse du ska plocka.

Påse A innehåller 3 svarta och 2 vita kulor

Påse B innehåller 10 svarta och 5 vita kulor

Vilken påse är bäst att plocka ur? Förklara varför.

Jessica:              Hrm, … vilken påse är bäst? Det är flest vita kulor i påse B.

Erik:                    Ja, då är det ju lättare att ta en vit kula! Jessica: Ja fast, …. det är ju fler svarta kulor i påse B också. Då kan man ju lätt få upp en svart också.

Erik:                    Ja det förstås. Men jag skulle i alla fall välja påse B. 5 chanser att ta en vit mot bara 2 i påse A.

Diskutera med varandra.

– Hur tror ni att Jessica och Erik tänker?

– Håller ni med någon av dem? Varför/varför inte?

– Hur skulle ni ha svarat på frågan i uppgiften?

 

Läxa till följande lektion: Se denna film: sannolikhetslära träddiagram

Lärandemål: beroende och oberoende händelser, träddiagram, begrepp återläggning

Rita upp på tavlan, använd magneter eller gör praktiskt med påse och kulor.

Entryticket: Hur stor är sannolikheten att jag först drar en blå magnet och sedan en röd. (med återläggning)

P(blå, röd)=

Pardiskussioner: Lektion. Hur stor är sannolikheten att jag drar en blå magnet? Lägg tillbaka magneten. Hur stor är sannolikheten att jag drar en blå magnet nu? Lägg inte tillbaka magneten denna gång. Hur stor är sannolikheten att jag drar en blå magnet nu?

Hur stor är sannolikheten att jag drar först en blå och sedan en röd? (med återläggning)

P(blå, röd)=

Lägg till färger, lägg till fler magneter, fler exempel

Ta exempel med utan återläggning med pardiskussioner.

Byt ut sannolikheterna till decimaltal som variation

Pararbete: Lägg ett antal magneter i olika färger på tavlan i påsen. Be eleverna själva ställa frågor om sannolikhet i sina problemlösningsböcker utifrån bilden på tavlan. De bestämmer själva hur många dragningar, med eller utan återläggning, decimaltal eller bråktal. Bra frågor och bra lösningar med ett bra matematiskt språk uppmuntras. Problemlösning:

  • Gruppen ska skapa ett eget problem med samma matematikinnehåll. Bra om man varierar sig med decimaltal och bråktal (facit).

 

Kombinatorik (handlar om att räkna på hur många olika sätt man kan välja eller ordna något.)

Lärandemål:Multiplikationsprincipen

Be två elever komma fram till tavlan och bilda kö. Fråga eleverna på hur många sätt kan dessa två personer placera sig. Två kommer alla säga. Ta fram ytterligare en elev, nu är de tre och ställ samma fråga, osv. Skriv på tavlan. Ta fram ytterligare en elev. Kan man se något mönster? Resonera

Ytterligare exempel med kombinationer tex

Välja mellan

Bröd Korv Tillbehör
vanligt varmkorv senap
fullkorn chilikorv ketchup
maxi wienerkorv Rostad lök
  bamsing bostongurka
    räksallad
    Gurkmajonnäs

 

Problemlösning: Glassproblemet i Rika matematiska problem. Eleverna bör redovisa med en valfri metod men också ett träddiagram. Resonera kring lösningsförslagen och värdera dessa

Eleverna tillverkar ett eget liknande problem. Viktigt att de använder minst två olika metoder för att lösa problemet. Byt problem med kompis om tid finnes.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Sannolikhetslära lektion 2 Problemlösning

Denna lektion är inspirerad av Dan Meyers s.k 3-aktare och finns att hitta i original på denna länk

Problemlösningslektion inom Sannolikhetslära: Många problemlösningsuppgifter är tillrättalagda med givna värden och bilder, mått etc. Uppgifter som denna blir istället mer öppna, eleverna måste tänka till om vad de behöver veta, de får också göra uppskattningar.

Lärandemål: problemlösning, uppskattning, förhållanden, bråk, proportioner

Vi startar lektionen med en liten reklamfilm för en chipssort som visar en chipspåse som bjuds runt i en grupp.

Rysk roulette hörs det från elever i klassen. Vi gör klart att denna ryska roulette innebär att chipspåsen går runt och ibland blir det ett väldigt starkt chips.

Vi fortsätter med akt 1, vilket innebär följande film:

Frågan ställs nu till eleverna

Vad är det första frågan som du kommer på? Eleverna får här fritt fråga, det blir lite blandat till att börja med.

  • Vad har det här med matematik att göra?
  • Vem får nästa starka chips?
  • Hur många är det som äter?
  • Hur många chips är det i påsen?
  • Hur många starka chips är det i påsen?
  • Hur stor är sannolikheten att man får ett starkt chips?

Eftersom vårt område är sannolikhetslära och vi är ute efter just en viss frågeställning, så fokuserar vi på följande.

Hur många starka chips finns det i påsen?

Eleverna får nu komma med gissningar helt fritt, vi skriver upp alla gissningar och tar alla gissningar på största allvar. Nästa fundering eleverna får är: Vad behöver du veta för att kunna räkna ut denna fråga?

Eleverna resonerar i par och säger:

  1. Vi behöver veta hur många vanliga chips det finns i påsen!
  2. Vi behöver veta hur stor andel starka chips det finns i påsen! P(starka chips)
  3. Vi behöver veta hur många som äter chipsen?
  4. Vi behöver veta hur många chips det finns i påsen!

Efter ett visst resonemang enas vi om två huvudfrågor

  • Hur stor är sannolikheten att du får ett starkt chips?
  • Hur många chips finns det i påsen?

Vi startar med akt 2 och visar två bilder. Eftersom eleverna kommer behöva bilderna har vi också kopierat dem så de får varsitt. Härifrån följer ett klassiskt EPA-upplägg med Eget arbete, Parvist arbete och Alla.

Dessa bilder fick eleverna.

 

 

 

 

 

 

Eleverna påbörjar sina problemlösningar med blandade metoder. Här följer några lösningsförslag.

 

Det vi märkte eleverna hade svårare för, var att veta vad de egentligen räknade ut. Vad står talet i nämnaren respektive täljaren för? Eleverna fick sedan hitta ett annat sätt att lösa problemet på. Här tydliggjordes för eleverna just detta med, vad är det egentligen eleverna räknar ut. De hade däremot inga större problem med att hitta de värden som var viktiga för undersökningen. Det framkom också diskussioner om vikt, påsens vikt, luftens vikt, vilseledande vikt på påsen samt om det verkligen finns ca 100 chips i en chipspåse.

Detta problem var inte speciellt rikt problem men hade ändå sina poänger.

I slutet av lektionen visades akt 3-lösningen


Prenumerera på nya blogginlägg

Sannolikhetslära lektion 1

Första lektionen

Lärandemål: Förstå de nya begreppen, förstå skillnad på experimentell och teoretisk sannolikhet, göra enkla beräkningar av grundläggande sannolikhet (likformig sannolikhetslära). Förstå att ju fler experimentella försök du gör, desto närmare kommer du den teoretiska sannolikheten (de stora talens lag)

Vi började med en entryticket. Hur stor är sannolikheten att jag får en femma eller en sexa på en tärning? Detta visar vår lägstanivå och där vi måste börja. Många klarade att det är 2/6 men några få visade ?.

Denna lektion är inspirerad av https://illuminations.nctm.org, vilket är ett projekt disignat av The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).

Nya begrepp: P=Probability, chans-risk, gynnsam, utfall, P(x),

Diskutera med eleverna vad formeln innebär:  antalet gynnsamma utfall / totala antalet utfall= teoretisk sannolikhet

Vi frågade om chansen att få krona eller klave. Vi skrev upp, P(klave)= ½ = 50% och P(krona)=1/2= 50% på tavlan. Nästa fråga var chansen att jag kastar en 4:a med sexsidig tärning. Vi skrev P (4) = 1/6 på tavlan. Vi fortsatte med de andra tre spelen, kortlek, chanserna att dra ett rött kort, en ruter eller ruter 5. Vår tavla såg nu ut så här:

P(klave) = ½ = 50 %             P(4) = 1/6  ̴  17%                P(rött kort)= 26/52 = 50%

P(krona) = ½ = 50 %             P(ruter)= 13/52= 25%            P(ruter 5) = 1/52 ̴ 2 %

Teoretiska sannolikheten är sannolikheten för en händelse sker baserat på alla de möjliga utfallen.

Vad innebär en teoretisk sannolikhet? Pardiskussion

Vad innebär i så fall en experimentell sannolikhet? Pardiskussion

antalet gynnsamma utfall/totala antalet försök= Experimentell sannolikhet

Teoretiska sannolikheten har att göra med sannolikheten för händelser som inträffar i teorin. Det är vad som förväntas hända. Likaså har experimentell sannolikhet att göra med beräkningen av sannolikheten man använder resultatet av i ett experiment.

Presentera uppgiften

Aktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material,

Hur stor är chansen?                                       NAMN _____________

Ni kommer att utvärdera olika spel för att hjälpa er förstå sannolikheten. För varje spel, förutsäga vad som kommer att vara mest frekvent, sedan göra experimentet 10 gånger. För varje försök, skriv in utfallet i resultatraden. Om detta matchar ert förväntade utfall, sätt en bock i raden gissning.

  1. Singla en slant

Vilket resultat tror du kommer upp:   Krona Klave

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Kasta en tärning

Vilket resultat tror du kommer upp:   1   2   3   4   5   6

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett svart eller rött kort

Vilket resultat tror du kommer upp:   Rött   Svart

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett kort i rätt färg (klöver, spader, ruter eller hjärter)

Vilket resultat tror du kommer upp:   Klöver (♣)   Spader (♠)   Ruter (♦)   Hjärter (♥)

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett exakt kort

Vilket resultat tror du kommer upp: __________ (e.x., 3♥)

 

RESULTAT
GISSNING

6.I vilket av spelen var dina gissningar mest närmast utfallet? (dvs, vilket spel hade ni flest rätta gissningar)______________________

7. Komplettera tabellen nedan med sannolikheten för varje spel. Använd resultaten från dina experiment ovan för att räkna ut den experimentella sannolikheten.

SPEL GYNNSAMT UTFALL EXPERIMENTELLA SANNOLIKHETEN

relativa frekvensen

TEORETISKA SANNOLIKHETEN
Singla slant Ex Klave ex. 3/10=30%

 

 

ex. 1/2=50%

 

Tärningskast Ex 6  

 

 

 

Dra ett rött kort Ex Rött  

 

 

 

Dra en speciell färg Ex Ruter  

 

 

 

Dra ett exakt kort Ex Ruter 5  

 

8. Jämför den teoretiska och den experimentella sannolikheten för varje spel. Var du nära i något av dem, vilket i så fall?_______________, vaför tror ni?____________

När eleverna avslutade experimenten i frågorna 1 – 5, diskuterade vi resultaten och eventuella påståenden som de hade.  Eftersom urvalsstorlekarna endast var 10 för varje experiment blev inte detta utfall lika. Detta förväntade vi och skulle berika diskussionen senare när eleverna kombinerade alla klassdata.

Vi frågade eleverna om det är användbart eller en bra prognos för sannolikhet om de bara använder 10 försök?. Pardiskussion

Hur många dragningar, kast kan behövas för att få ett resultat som bättre kunde användas för att förutsäga utfall? Pardiskussion. Här fick vi många förslag på svar, allt från 5 till 1 miljon.

Vi kan ge flera exempel där små siffror är inte bra förutsägelse av stort antal resultat:

  • Skulle det vara korrekt att dra slutsatsen att ett mynt alltid flippas huvud eftersom det hände en gång?
  • Om 50% av eleverna i en klass sa att de gillade hiphop, tror du det innebär 50% av eleverna på hela er skola föredrar hiphop?
  • Skulle du anta att om en person kastar en basketboll en gång och gör ett mål från halvplan, att hon är en bra skytt?

Här insåg de att få experimentella resultat med ovanstående frågor, inte var tillräckligt att göra förutsägelser. Hur ska vi få ett större urval? Elevernas förslag var att kombinera hela klassens data tillsammans då det förmodligen visade fler mönster. Vi fyllde i alla gruppers resultat gemensamt på tavlan.

9.

 

SPEL Så här många korrekta gissningar

Hur många rätta gissningar hade vi tillsammans?

EXPERIMENTELLA SANNOLIKHETEN

Hur många försök gjorde vi tillsammans?

Den relativa frekvensen

Antalet gynnsamma händelser/totala antalet försök

Singla slant 7+6+7+4+5+4+4+7+

4+4+4+5+2=63

10×15=150 63/150=0,42=42%
Kast av tärning
Dra ett rött kort
Dra en speciell färg
Dra ett exakt kort

 

10. Blev den experimentella sannolikheten annorlunda i fråga 7 och 9? Varför eller varför inte?____________________________

  1. Jämför nu de teoretiska sannolikheterna i fråga 7 med de experimentella   sannolikheterna i fråga 9? Vad tror du skulle hända om ännu fler försök tillkom?_______________________________________

 

Som en avslutning på denna lektion, diskutera och gör jämförelser med eleverna om teoretiska och experimentella sannolikheten. Beroende på deras data, bör det finnas ett mönster där den experimentella datan börjar att komma närmare de teoretiska beräkningarna. Det är möjligt att även med en klass av uppgifter blir fortfarande några resultat långt från den teoretiska sannolikheten. Om detta uppstår, bör den läggas till diskussionen om arten av sannolikhet. Du vet aldrig vad som kommer att hända med chans. Sannolikhet är bara ett verktyg för att göra förutsägelser.

Om tiden tillåter, diskutera exempelvis casinon och kalibrering, eller tärning. Eller använd ett lyckohjul (digitalt). Påpeka de experimentella och teoretiska sannolikheterna om du snurrar flera gånger. När antalet prövningar ökar, kommer de allt närmare den teoretiska sannolikheten. Förklara för eleverna att detta kallas de stora talens lag.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att arbeta med sannolikhetslära, proaktivitet, inlägg 1

Sannolikhetslära 

Utifrån vårt arbete med statistik där vi gjorde ett förtest kunde vi i frågorna med karaktär av sannolikhetslära uppmärksamma vad eleverna redan kan, vad de har svårare med men också försöka se vilka kritiska aspekter eleverna kan ha inom området. Testet visade att eleverna inte hade några större problem med enkel sannolikhet vid enkla slumpförsök . Däremot när det kom till sammansatta händelser så blev det lite svårare. Detta gäller även kombinatoriken.

Vi fortsätter med att besvara denna fråga: Vad kan de när de kan sannolikhetslära?

Jo, då kan de:

  • Förklara vad som menas med begreppet sannolikhet
  • Räkna med likformig sannolikhetsfördelning
  • Beskriva hur sannolikhet kan bestämmas genom att göra praktiska försök
  • Räkna med kombinationer
  • Att använda utfallsdiagram vid beräkning av sannolikheter
  • Att använda träddiagram vid beräkning av sannolikheter
  • Att räkna med oberoende och beroende händelser

Begrepp:sannolikhet, chans, risk, händelse, möjligt utfall, gynnsamt utfall, multiplikationsprincipen, utfallsdiagram, träddiagram, P(händelse), probability, komplementhändelse, oberoende och beroende händelser, kombinatorik, experimentell sannolikhet.

Dessa kritiska aspekter kunde vi förvänta oss: svårighet med att förstå högst och lägst när det gäller exempelvis tärning, P(högst en trea). Det är nya begrepp som är nya för dem och kan innebära svårigheter. Man kopplar inte ihop bråk med procent.

Följande inlägg behandlar lektion nummer 1 som delvis innehåller praktiskt moment för eleverna.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att tolka och värdera samt motivera sina svar. (statistik)

Detta är en fortsättning på föregående inlägg.

Lektion 6: Våra lärandemål är vilseledande diagram. Att kunna se varför de är vilseledande men också kunna förstå hur man själv skapar ett vilseledande diagram när man bestämt sig för vad det är man vill vilseleda.

Till denna lektion hade eleverna i läxa att titta på följande filmer:

del 1 : https://youtu.be/cvKt5Wqg8m8

del 2: https://youtu.be/Gf90TxVZUrg

Båda filmerna handlar om vilseledande diagram.

Eleverna fick sedan göra följande entryticket individuellt:

Vi förde sedan en gemensam diskussion i klassen för att komma fram till varför bilden är missvisade.

Eleverna fick nu arbeta parvis med liknande uppgifter där de fick skriva ner varför diagrammen är vilseledande samt ta ställning hur diagrammen skulle kunna se ut i stället.

Vi diskuterade i helklass vad de kommit fram till och nu var eleverna redo att själva försöka vilseleda en undersökning med hjälp av ett diagram.

De fick lite olika diagram med rubriker vad undersökningen handlat om och parvis fick de nu skriva en ny rubrik som syftade på att vilseleda tex ingen i Sverige gillar sporter eller OLW är den mest köpta chipssorten och sedan skapa ett vilseledande diagram men med rätt data införda.

Lektion 7: Vårt lärandemål är att eleverna ska kunna avgöra vilket lägesmått som passar bäst att använda i olika sorters undersökningar.

Till denna lektion hade eleverna tittat på följande film: https://youtu.be/XofVaKTRKmw tid 12,59 till 18,12 in i filmen

Eleverna fick individuellt göra följande entryticket:

Frågan som eleverna fick till denna uppgift var vad är typvärdet, medelvärdet samt medianen på denna undersökning. Vi gör sedan den tillsammans i helklass. Vi använder elevernas svar och skriver upp dessa på tavlan som är följande:

Typvärdet: Hund, 5 och 2.  Parvis får de sedan diskutera sig fram till rätt svar och vara beredd med en motivering i helkass så att vi kan enas om vilket svar som är rätt och varför.

Medelvärde: Där finns inget medelvärde, 10/4=2,5, 10/10=1 och 4/10=0,4. Vi gör på samma sätt, eleverna får parvis diskutera sig fram vilket svar som är rätt och plocka bort de felaktiga med en motivering.

Medianen: Där finns ingen median, 1,2,2,5,10 alltså är medianen 2 och slutligen hund, hund,hund,hund,hund, katt,katt, häst, fågel, fågel (Hund och katt hamnar i mitten) 2/2=1. Även här enas vi tillslut om vilket svar som är rätt och varför.

Nu har eleverna med sig att det är inte alltid man kan utläsa alla lägesmåtten i en undersökning.

De får nu nästa uppgift som ska lösas individuellt:

Med denna uppgift vill vi få med progressionen att nu kan man ta reda på alla lägesmåtten men vilket är det bästa värdet att använda.

Frågan vi ställer till eleverna blir därför följande: Ta reda på de lägesmåtten du kan ta reda på och bestäm vilket som är det bästa värdet att använda sig av för att ge en rättvis bild av denna undersökning.

Även här får vi felsvar på både median, typvärde och medelvärde och dessa reder vi ut på samma sätt som vid första uppgiften.

Frågor som vi även diskuterar är om det kan finnas flera typvärden och vad är maxgräns för antal typvärde. Viktigt är att eleverna förstår innan vi går vidare att i detta fall är det medianen som är det bästa lägesmåttet och varför.

Vi avslutar denna lektion med en exitticket som har exakt samma matematikinnehåll som den förra men där medelvärdet är det bästa lägesmåttet att använda.

 

Lektion 7-9

Eleverna får knyta ihop alla lärandemål med följande inlämningsuppgift. Denna arbetar de med parvis. Hur vi tänkte kring bedömningen av denna uppgift kommer i nästa inlägg samt hur vi tänker kring bedömning av alla statistiklektioner.

Inlämningsuppgift

Lärandemål: lägesmåtten, vilseledande diagram, skillnad frekvenstabell och vanlig tabell, skillnad stolp- och stapeldiagram. Att kunna räkna ut lägesmått utifrån en text, tabell och diagram samt välja lämpligt lägesmått.

Ni ska planera och göra en egen undersökning. Ni väljer själva hur många personer ni tillfrågar om det är en sådan fråga ni väljer. Följande ska finnas med:

  • Ni måste redovisa i minst två lämpliga diagram
  • Redovisa era tabeller och diagram både på papper men också i numbers eller excel
  • Gör olika beräkningar av lägesmåtten på era undersökningar och vilket som är det mest lämpliga lägesmåttet att använda.
  • Gör ett vilseledande diagram som tydliggör ett budskap
  • Svara skriftligt på följande fråga: Om ni skulle fråga 1000 personer, hur kan ni då visa detta på de diagram ni valt, vilka förändringar skulle ni då göra?
  • Skriv vilken slutsats er undersökning gav och vilka eventuella förändringar ni skulle vilja göra om ni fick chansen

 

Nedan är en checklista som ni kan läsa igenom och tänka kring innan ni påbörjar ert arbete. Diskutera med din kamrat hur ni tänker lägga upp arbetet.

 

  1. Vilken frågeställning kommer ni ha? Frågar ni om saker, antal eller om förändring?
  2. Går frågan att misstolkas?
  3. Behöver ni olika svarsalternativ?
  4. Vilken/vilka sorts/sorters tabell/er behöver ni för att markera svaren?
  5. Vilka sorters diagram kommer ni att använda?
  6. Om ni skulle marknadsföra er undersökning, på vilket sätt skulle ni kunna vilseleda för att få fram ert budskap

 

 

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

En lektion om positonsystemet för tal i decimalform

 

Denna lektion gjordes i årskurs åtta.

Positionssystemet med decimaltal

Till denna del är det bra att eleverna får använda mini-whiteboards. Ännu bättre är det om de har en whiteboard nerladdad på sin Ipad. Powerpointen är gjord med tanken att ni fyller på tillsammans med eleverna.

När vi gjort denna del får eleverna en uppgift där de ska placera ett visst antal tal på en tallinje. Vi delar in grupperna tre och tre och går runt och lyssnar och ställer stöttande frågor för att se vad vi behöver fokusera på under lektionen efteråt alltså vad kan eleverna och vad kan de inte. Uppgifterna de placerar ut på tallinjen (en lång kassaremsa från 0-1) är följande:

Avrunda till två decimaler 0,675                 avrunda till en decimal 0,675     Valfritt tal mellan 0,2 och 0,3                      Valfritt tal mellan 0,2 och 0,3

Avrunda till tre gällande siffror 0,7759      √0,36

Avrunda till två decimaler 0,77559             3 hundradelar

Avrunda till tre decimaler 0,77559              795/1000

Avrunda till en gällande siffra 0,0756        0,7 * 0,6

0,09                30 hundradelar                      0,175             0,0075/0,01     0,9

3 tiondelar       7/100                                    0,7 * 0,5           0,90

0,001* 0,0001                0,75            7/10                       0,900

0,00075/0,01                0,001/0,1                x²=0,25       0,17

När de är klara med sin tallinje har vi en genomgång om det vi har sett är svårt och eleverna får sedan placera om sina tal på tallinjen, jämföra med varandra och därefter kunna motivera sin placering i helklass. Det som eleverna upplevde svårt var att multiplicera två tal som är mindre än noll. I detta fall så fastnar de på roten ur 0,36 samt o,6*0,7. De har förståelse för att 0,6*2 är lika med 12 tiondelar. alltså att svaret är 1,2 så eleverna har inga svårigheter att multiplicera ett tal mindre än noll med ett heltal. Om de multiplicerar 0,6*0,7 svarar de antingen 4,2  eller 0,42 där det sista talet är rätt. Om de multiplicera 0,06* 0,06 får de detta till 0,36 eller o,0036 där det sista talet är rätt. Eleverna har bra koll på att när de multiplicerar med tal som är mindre än ett så blir svaret ett mindre tal. Vi behöver skapa en förståelse hos eleverna samt ge dem strategier hur de ska tänka när de multiplicerar två tal som är mindre än ett med varandra.


Prenumerera på nya blogginlägg

Att arbeta med huvudräkning med eleverna.

I Förstå och använda tal som är en handbok i att undervisa om taluppfattning samt ett diagnosmaterial, finns tester för alla skolår och våra elever har då fått göra dessa tester. En del av uppgifterna (10 st) testar deras kunskaper i huvudräkning och dessa uppgifter tenderar de flesta elever att ha mycket svårt för i alla åldrar.

Eleverna fick under några lektioner göra enligt följande ordning:

Vi gjorde ett alternativtest med liknande uppgifter. De får endast 10 sekunder på sig att tänka på varje uppgift, för att om kunskaperna är automatiserade och man har bra huvudräkningsstrategier klarar man detta. Vi pratar också med eleverna om varför det är viktigt att ha tabellkunskaperna automatiserade tillsammans med bra huvudräkningsstrategier. 

Eleverna fick rätta sig själva.

Vi delade sedan in dem i par och de fick arbeta med att komma på användbara strategier för att kunna räkna snabbt i huvudet. De fick kommunicera den strategin de själva hade använt för varandra. På strategi 3 fick de antingen använda en av de två första strategierna eller komma på en som faktiskt var bättre att använda sig av.

Här tränar vi både metodförmågan och kommunikationsförmågan. Den största vinningen är att eleverna anammar nya och bättre strategier från varandra.

Nu lyfter vi en eller två strategier i helgrupp på varje uppgift.

Lektionen avslutas att eleverna nu får göra ett nytt test. De har endast 10 sekunder att tänka på från att vi har läst uppgiften.

De rättar sitt egna test. De flesta eleverna gör någon förbättring. Vi tränar vidare på samma sätt nästa lektion.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Lärobjekt Symmetri

Här följer vårt planeringsarbete för symmetri

Vårt lärandeobjekt:

  • I lgr 11 för 4-6 står följande i det centrala innehållet:
  • Symmetri i vardagen, konsten och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras.
  • I syftestexten står följande att eleven ska när de arbetar med symmetri utveckla förmågan att lösa problem, använda analysera och se samband mellan begrepp, välja lämpliga matematiska metoder, föra och följa matematiska resonemang och använda matematikens uttrycksformer när de kommunicera matematiken.
  • Vårt lärandeobjekt blir följande: Eleven ska kunna använda sig av samt förstå begreppet symmetri och sätta in detta i olika sammanhang.

Vilka begrepp behöver vi få med:

Rotationssymmetri, spegelssymmetri, symmetrilinje, räta vinklar, namn på de plana figurerna, kongruent, polygoner, sidor, sträcka, linje, hörn, medelpunkt, diagonal, diameter, likformig, asymmetrisk.

Vad kan de när de kan symmetri:

  • De kan hitta symmetrilinjer i plana figurer
  • De ska veta att det finns två olika sätt att se symmetri och veta skillnaden på dessa.
  • De ska kunna skilja på symmetriska och asymmetriska figurer
  • De ska kunna spegla olika plana figur i linje, sned linje samt vrida den i 90, 180, 270 och 360 grader
  • De ska kunna avgöra när en plan figur har rotationssymmetri och när den inte har det.
  • De ska kunna skilja på begreppen diagonaler/diameter och symmetrilinje.
  • De ska kunna sätta ut diagonaler i de plana månghörningarna
  • De ska veta vad en vinkel är och markera dessa i de plana månghörningarna.
  • De ska kunna skilja på begreppen sträcka och linje.
  • De ska kunna begreppen kongruent och likformig och skilja på dessa.
  • De ska kunna använda symmetri i sin omvärld.

 

Detta tror vi kommer att vara kritiskt:

  • Att de inte har med sig begreppet kongruent och ser inte att vridna figurer kan vara likadana
  • Att de inte har med sig begreppet parallell, hörn, motstående, närliggande och på så sätt inte reder ut begreppet diagonal.
  • Att de inte har med sig att ju fler hörn en månghörning har, desto rundare blir den och därför har en cirkel oändligt många hörn.
  • Att de inte vet vad en vinkel är och därför inte kan skilja på räta, trubbiga och spetsiga vinklar.

 

 

Uppgiften de ska utföra:

  • Eleverna får tre olika trianglar (liksidig, likbent och rätvinklig , och en cirkel. De ska kunna visa om och var dessa figurer har sina symmetrilinjer och motivera sina svar. De ska också kunna rotera dessa figurer 90, 180, 270 och 360 grader och berätta om det har någon rotationssymmetri eller inte. När de visar cirkelns symmetrilinjer ska de även kunna koppla detta till begreppen diagonal och diameter, linje och sträcka.

Som lärare är det viktigt att vara uppmärksam att följande progression kan finnas i din elevgrupp:

  • Progressionen: Att kunna bevisa att en cirkel har oändligt många hörn och därför har oändligt många diagonaler.
  • Att kunna förklara varför inte storleken spelar någon roll på figuren när det gäller antal symmetrilinjer utan det är figurens form som avgör detta. Kunna koppla detta till cirkelns oändligt många symmetrilinjer. Att kunna förklara varför de tre olika trianglarna har olika antal symmetrilinjer och benämna dessa med dess rätta namn.

Denna uppgift kan vi kalla den stora entryticketen och denna bör även användas i slutet av lärandeobjektet. På så sätt går vi från helheten till delarna och till helheten igen.

Vad var kritiskt:

  • Att de inte har med sig begreppet kongruent och ser inte att vridna figurer kan vara likadana
  • Att de inte har med sig begreppet parallell, hörn, motstående, närliggande och på så sätt inte reder ut begreppet diagonal.
  • Att de inte har med sig att ju fler hörn en månghörning har, desto rundare blir den och därför har en cirkel oändligt många hörn.
  • Att de inte vet vad en vinkel är och därför inte kan skilja på räta, trubbiga och spetsiga vinklar.
  • De fastnar i att för dem är alla trianglar likadana. En triangel har tre hörn och tre sidor, de ser bara likheterna inte skillnaderna
  • Att de inte vet vad likformig och kongruent innebär och vad som skiljer dessa begrepp åt.
  • Att de inte vet vad det innebär med 90, 180, 270 och 360 grader

Vilka delar måste vi undervisa om och i vilken ordning:

Skillnaden mellan kongruent och likformig samt vad varje begrepp innebär

Skillnaden på sträcka och linje

Skillnader och likheter på likbent, liksidig och rätvinklig triangel. Skillnaden på vinklar

Sätta ut diagonaler i en plan månghörning

Grader

Spegelsymmetri:

Rotationssymmetri:

Att avgöra om en figur är symmetrisk eller inte med hjälp av symmetrilinjer och rotation

En cirkel har oändligt många hörn

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg