-Jag gillar matte men inte skolans matte!

En sådan här kommentar från en för oss okänd elev i elevcaféet kan inte gå obemärkt förbi och den fångade genast vårt intresse. Efter samtal med denne kille i åk 9 visade det sig att han såsom många andra inte ser nyttan av den matematik som han undervisas i skolan. -Vilken matematik gillar du då? -T.ex fysikmatte tycker jag är rolig när man får jobba med hastigheter eller sannolikhetslära då vi jobbar mer praktiskt. Jag gillar att arbeta med läroboken för man kan jobba i egen takt, men matten känns helt onödig. -Jag går på lektionerna för att få betyg, så jag pluggar till proven.  -När ska jag ha nytta av att räkna ut arean av ett äpple?

För att nå bästa möjliga matematikundervisning är vi helt övertygade om att vi måste våga släppa läroböckerna och behandla dessa som ett verktyg bland många andra. Det är väldigt mycket matematik vi missar om inte resonemangen och diskussionerna finns på lektionerna. Vi måste våga bryta de sociomatematiska normerna som ofta råder i en traditionell matematikundervisning. De sociomatematiska normerna kan vara de som är specifika just i matematiken, det kan vara vilken metod som läraren anser vara normen, eller att endast det rätta svaret är värdefullt. Vi måste sträva efter att ge eleverna möjlighet att ifrågasätta mer, för att eleven ska använda sin logik på ett bättre sätt. Allt fokus riskerar att hamna på själva räknandet istället för det logiska. Det är svårt att försvara matematiken när en elev har nytta av att kunna räkna ut arean av ett äpple men det är lättare att försöka ge eleverna så stora möjligheter att lära genom att fundera över vilka sociomatematiska normer som råder i klassrummet. Likheter med sociomatematiska normer är det didaktiska kontraktet men det senare anspelar mer på de osynliga regler som har skapats i klassen i stort. Det kan vara vilken sorts frågor som ställs i klassrummet, öppna eller slutna, är det handuppräckning som gäller och bara de som kan får svara på frågor eller vilka uppgifter som ges i klassrummet. Att förändra ett didaktiskt kontrakt kan dock ta sin tid då en inarbetad osynlig överenskommelse hur en lektion ska se ut är av vana inarbetad både hos elever och lärare men också föräldrar.

Att kunna räkna ut arean eller volymen av ett äpple är en väldigt bra uppgift om frågan ges utrymme och friheter, att den går att lösa med olika metoder som måste synliggöras och lyftas. Eleverna upptäcker vilka metoder som är mer effektiva än andra, elever hör att det finns flera lösningsstategier. Antagligen kommer eleverna aldrig ha användning för att i sig räkna ut arean av äpplet men risken minimeras att uppgiften ifrågasätts och istället sker ett värdefullt lärande om det sker på rätt sätt.


Prenumerera på nya blogginlägg

Är elever rädda för ekvationer?

Vi har inte gjort någon djupare undersökning eller analys till det påstådda men det hade varit väldigt intressant att fördjupa sig i vår känsla. Känslan är elevernas rädsla för variabler och då förlängningen av dessa som ekvationer. Vi träffar rätt många elever på vår resa och det som vi reagerar på är deras kollektiva reaktioner för variabler, nästan som tillbakaryggande. Användningen av ekvationer är ju en viktig del i problemlösningen men det kommer inte självmant, dessutom när en ekvation presenteras har förvånansvärt många glömt hur man ens löser en enkel ekvation och då pratar jag ändå högstadium. Vid problemlösning brukar eleverna redovisa sina lösningar och resonera kring dem i grupp. Väldigt ofta saknas den algebraiska metoden men vi lyfter den också. Nu har vi börjat att nyfiket fråga gruppen, vad är det som känns svårt? -Det är när ni skriver X? Vad är det som gör att det känns svårt och jobbigt när ni ser X? -Det ser väldigt proffsigt ut och matematiskt ut svarade en elev. -Jag förstår det inte säger en annan. -Jag vet inte hur jag ska räkna ut den säger en tredje. Detta måste innebära att vi presenterar variabler fel eller på fel sätt när vi introducerar variabler i skolan? I det centrala innehållet för åk 1-3 står det bla

  • De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer,
  • Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse

Ur det centrala innehållet för åk 4-6

  • Obekanta tal och dess egenskaper samt där det finns situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol
  • Enkla algebraiska uttryck och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven
  • Metoder för enkel ekvationslösning

Att arbeta med prealgebra är då extra viktigt, tex att eleverna ser sambandet mellan alla räknesätten, tex 4 +3 =7, men också att 7 – 4 =3 och att då är 7 – 3 =4 eller 4 = 7 – 3, eller 5 · 4 = 20, 20 / 4 = 5, eller 20 / 5 = 4. Då blir det kanske inte så svårt att förstå balansmetoden vid ekvationslösning. En fälla är också när det gäller enkla ekvationer, de är vid introduktion ofta för enkla, dvs eleverna kan lösa dem i huvudet och då lägger de heller inte för mycket kraft i att visa uträkningarna. Hela begreppen och innebörden riskerar då att gå förlorad.

Vi försöker nå elevernas förståelse genom problemlösningen. Tillsammans visar vi ständigt  olika lösningsförslag, värdera för- och nackdelar med varje lösning och försöka värdera dem, d.v.s vilken lösning är mest effektiv eller generell?, försök skapa ett eget liknande matematiskt problem och lös den är också väldigt effektiv vid förståelse av algebra. Vid nästa tillfälle kan man välja några elevers problem alternativt ett nytt problem. När det gäller problemlösning går många problem att lösa med hjälp av algebra. Fler och fler elever väljer att prova algebraiska metoder och skapar då en större förståelse för själva metoden men upptäcker också den kraft en ekvationslösning kan ha. Vi tror också att en fara är att arbeta med ekvationer enbart som ett kapitel i en lärobok har sina fällor, en är att eleven tror att ekvationer endast hör till kapitlet och inte till livet som ett hjälpmedel till lösningar! Via problemlösningen övar vi också på de fem matematiska förmågorna. Vi kanske är på rätt väg om vi vågar nå elevernas förståelse för ekvationslösning, algebra och variabler via problemlösning?

  • formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
  • använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
  • välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,
  • föra och följa matematiska resonemang, och
  • använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Prenumerera på nya blogginlägg

Problemlösningspasset

Våra lektionsupplägg är uppdelade på tre lektioner i veckan. Ett pass som är ett elevaktivt resonemangspass, ett problemlösningspass och ett målpass (individanpassat träningspass). Detta inlägg, första av tre, handlar om våra problemlösningspass. Schemat är lagt som det är lagt, men har man möjlighet att påverka schemat tycker vi att problemlösningspasset bör vara minst 70 minuter långt. Det som är viktigt när vi planerar ett sådant pass är är att problemet är så pass rikt att alla elever utmanas utifrån sin kunskapsnivå.

Problemlösningslektioner innebär möjligheter till givande diskussioner kring olika matematiska begrepp, procedurer, strategier och uttrycksformer. Det är också viktigt att samtliga faser i problemlösningen får plats under en och samma lektion. Risken annars är en forcering av de olika faserna i en problemlösning, en stress som gör att problemet inte har den effekt som önskas. Eller att de olika problemlösningarna tas upp nästföljande lektion som i värsta fall kan vara tre-fyra dagar senare. Vi brukar också börja med ett enklare problem men av samma karaktär, för att ha som en uppvärmning. Problemen brukar vi hitta i boken Rika matematiska problem (2005), skolverkets problembank, NCM, gamla nationella prov eller i någon lärobok.

Vid problemlösning är syftet att alla fem matematiska förmågor tränas, d.v.s begrepp-, metod-, resonemang-, kommunikation- och problemlösningsförmågan.

Svårigheterna vi träffar på under dessa lektioner är vilka hjälp- och stödfrågor som är bra att ställa när/om eleverna kör fast, för att undvika lotsning så mycket som möjligt. Då är det bra om vi har försökt lösa problemet på så många sätt vi kan innan lektionen, så den största möjliga förståelse finns för olika lösningsmetoder och missuppfattningar. Det är enormt tillfredsställande att höra och se hur eleverna tänker, många gånger mycket smartare än jag själv.

Eftersom eleverna blir klara vid olika tidpunkter är följdfrågorna viktiga:

  • Kan du hitta en annan metod att lösa problemet?
  • Försök skapa ett eget liknande problem

Vid redovisningarna tas olika metoder upp och gärna att eleverna gärna redovisar själva, och att de är uppmärksamma på frågor från de övriga eleverna. En önskvärd problemlösningslektion flyter på så pass bra att jag som lärare inte behöver ställa de följdfrågor som behövs utan bara smälta in i mängden, elevernas frågor och röster ska höras mest i klassrummet. Eleverna tränar på att ställa frågor och resonera kring, hur, varför tänk om…Metoderna värderas senare, vilka fördelar och nackdelar finns och vilken metod kan användas oavsett värden? (generalisering).

Vi brukar vara noga med att nästa lektion ta ett liknande problem, eller om möjligt använda elevernas liknande problem för att möjliggöra att alla elever hittar metoder och förståelse för problemets karaktär, dels igenkännande men också skapa säkerhet i metoderna. Problemlösningspassen har också en färdighetsträning där användningsområdet för olika räkneoperationer synliggörs, tränas och skapar en djupare förståelse än färdighetsträning via lärobok som oftast endast tränar begrepp och metod.

Den vanligaste arbetsmetoden är EPA, (eget tänkande, sedan pardiskussioner, sedan alla). Men också andra metoder, speciellt vid elevernas egna skapade problem, att eleven som äger problemet sitter som ”expert” vid ett bord och endast lyssnar på de andras resonemang, för att sedan flytta sig till ett annat bord, där en annan elev är ”expert”. Eleverna har oftast en egen problemlösningsbok som vi kan ta in och se både elevernas kladd men också kommunikationen.

Vid slutet är vi också noga med att hinna med att fråga vilka förmågor eleven har tränat på vid detta pass, men också vilka lärdomar de dragit.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Problemlösningslektion med elevernas egna problem

 

Problemlösningslektion och effekterna av densamma

För att ett problem ska passa alla elever i en klass är det viktigt att välja ett problem som alla har möjlighet att lösa men samtidigt har ett djup så att alla elever blir utmanade på sin nivå. Vi brukar också börja med ett enklare problem men med samma karaktär som en uppvärmning helt enkelt. En intressant del i problemlösningen kan vara att eleverna tillverkar ett eget liknande problem. Här får eleven möjlighet att tänka baklänges för att skapa problemet men också se förståelsen i problemets karaktär och svårighet. Uppgifterna kan lösas på olika sätt, vilket också redogjordes för under lektionen. Samtliga förmågor färdighetstränades idag.

  • Begreppsförmågan
  • Metodförmågan
  • Resonemangsförmågan
  • Kommunikationsförmågan
  • Problemlösningsförmågan

Ett par elever i årskurs 7 hade dessa två problem nedskrivna i sina problemlösningsböcker efter en problemlösningslektion. De fick arbeta med dessa under nästa problemlösningslektion.

Elevproblem 1 (uppvärmingsuppgift)

I en verkstad finns det motorcyklar och trehjulingar. Det finns dubbelt så många motorcyklar som trehjulingar. Sammanlagda antal hjul som finns är 28 st. Hur många motorcyklar och trehjulingar finns det i verkstaden?

barnets-trehjuling-skissar-22888243
moppe

Elevproblem 2 (huvuduppgift)

 

Du har tre gånger så många tiokronor som femkronor. Totala värdet är 3500 kr. Hur många tior och femmor har du?

femkronan_1976_fram_high 4917766-tiokronor


Prenumerera på nya blogginlägg

Problemlösningslektion

  1. Problemlösningslektion

    En problemlösningslektion där vi i slutskedet tittade på olika lösningar och värderade dessa.Alice förklarar hur hon tänker.
    Bild: En problemlösningslektion där vi i slutskedet tittade på olika lösningar och värderade dessa.Alice resonerar hur hon tänker vid dagens problem.

    En noshörning kan få mycket långa horn. Ett horn växer cirka 0,5 cm i månaden. Noshörningens horn kan bli 1,55 m. Bildresultat

     

    Den kursiva texten visar på exempel på frågor som du bör ställa till eleverna för att möjliggöra att få deras resonemang framåt.

    1.Hur långt är hornet efter fyra månader? Ex på frågor: Hur långt är tornet efter 1 månad, 2 månader? Kan du visa det på något sätt, ex tabell?

  2. Hur långt är hornet efter 10 månader?
  3. Hur långt är hornet efter 20 månader?
  4. Kan du se ett mönster? I så fall beskriv det här Finns det något du kan se, som du inte behöver räkna ut? Om du tittar i din tabell, kan du se nästa tal i din talföljd?
  5. Ungefär hur lång tid tar det för ett horn att bli 1,55 meter? Hur kan du veta att ditt svar stämmer?
  6. Försök att finna en regel för hur noshörningens noshörning växer?Om jag vill veta hur långt hornet är redan vid ex sju år, finns det ett enkelt sätt att visa detta på? Vad är det som upprepar sig?
  7. Hitta på ett liknande problem och lös det 

     

     

     


Prenumerera på nya blogginlägg