Sannolikhetslära lektion 1

Första lektionen

Lärandemål: Förstå de nya begreppen, förstå skillnad på experimentell och teoretisk sannolikhet, göra enkla beräkningar av grundläggande sannolikhet (likformig sannolikhetslära). Förstå att ju fler experimentella försök du gör, desto närmare kommer du den teoretiska sannolikheten (de stora talens lag)

Vi började med en entryticket. Hur stor är sannolikheten att jag får en femma eller en sexa på en tärning? Detta visar vår lägstanivå och där vi måste börja. Många klarade att det är 2/6 men några få visade ?.

Denna lektion är inspirerad av https://illuminations.nctm.org, vilket är ett projekt disignat av The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM).

Nya begrepp: P=Probability, chans-risk, gynnsam, utfall, P(x),

Diskutera med eleverna vad formeln innebär:  antalet gynnsamma utfall / totala antalet utfall= teoretisk sannolikhet

Vi frågade om chansen att få krona eller klave. Vi skrev upp, P(klave)= ½ = 50% och P(krona)=1/2= 50% på tavlan. Nästa fråga var chansen att jag kastar en 4:a med sexsidig tärning. Vi skrev P (4) = 1/6 på tavlan. Vi fortsatte med de andra tre spelen, kortlek, chanserna att dra ett rött kort, en ruter eller ruter 5. Vår tavla såg nu ut så här:

P(klave) = ½ = 50 %             P(4) = 1/6  ̴  17%                P(rött kort)= 26/52 = 50%

P(krona) = ½ = 50 %             P(ruter)= 13/52= 25%            P(ruter 5) = 1/52 ̴ 2 %

Teoretiska sannolikheten är sannolikheten för en händelse sker baserat på alla de möjliga utfallen.

Vad innebär en teoretisk sannolikhet? Pardiskussion

Vad innebär i så fall en experimentell sannolikhet? Pardiskussion

antalet gynnsamma utfall/totala antalet försök= Experimentell sannolikhet

Teoretiska sannolikheten har att göra med sannolikheten för händelser som inträffar i teorin. Det är vad som förväntas hända. Likaså har experimentell sannolikhet att göra med beräkningen av sannolikheten man använder resultatet av i ett experiment.

Presentera uppgiften

Aktiviteten, (Vad är mina chanser?), parvis, alla har allt material,

Hur stor är chansen?                                       NAMN _____________

Ni kommer att utvärdera olika spel för att hjälpa er förstå sannolikheten. För varje spel, förutsäga vad som kommer att vara mest frekvent, sedan göra experimentet 10 gånger. För varje försök, skriv in utfallet i resultatraden. Om detta matchar ert förväntade utfall, sätt en bock i raden gissning.

  1. Singla en slant

Vilket resultat tror du kommer upp:   Krona Klave

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Kasta en tärning

Vilket resultat tror du kommer upp:   1   2   3   4   5   6

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett svart eller rött kort

Vilket resultat tror du kommer upp:   Rött   Svart

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett kort i rätt färg (klöver, spader, ruter eller hjärter)

Vilket resultat tror du kommer upp:   Klöver (♣)   Spader (♠)   Ruter (♦)   Hjärter (♥)

 

RESULTAT
GISSNING

 

  1. Dra ett exakt kort

Vilket resultat tror du kommer upp: __________ (e.x., 3♥)

 

RESULTAT
GISSNING

6.I vilket av spelen var dina gissningar mest närmast utfallet? (dvs, vilket spel hade ni flest rätta gissningar)______________________

7. Komplettera tabellen nedan med sannolikheten för varje spel. Använd resultaten från dina experiment ovan för att räkna ut den experimentella sannolikheten.

SPEL GYNNSAMT UTFALL EXPERIMENTELLA SANNOLIKHETEN

relativa frekvensen

TEORETISKA SANNOLIKHETEN
Singla slant Ex Klave ex. 3/10=30%

 

 

ex. 1/2=50%

 

Tärningskast Ex 6  

 

 

 

Dra ett rött kort Ex Rött  

 

 

 

Dra en speciell färg Ex Ruter  

 

 

 

Dra ett exakt kort Ex Ruter 5  

 

8. Jämför den teoretiska och den experimentella sannolikheten för varje spel. Var du nära i något av dem, vilket i så fall?_______________, vaför tror ni?____________

När eleverna avslutade experimenten i frågorna 1 – 5, diskuterade vi resultaten och eventuella påståenden som de hade.  Eftersom urvalsstorlekarna endast var 10 för varje experiment blev inte detta utfall lika. Detta förväntade vi och skulle berika diskussionen senare när eleverna kombinerade alla klassdata.

Vi frågade eleverna om det är användbart eller en bra prognos för sannolikhet om de bara använder 10 försök?. Pardiskussion

Hur många dragningar, kast kan behövas för att få ett resultat som bättre kunde användas för att förutsäga utfall? Pardiskussion. Här fick vi många förslag på svar, allt från 5 till 1 miljon.

Vi kan ge flera exempel där små siffror är inte bra förutsägelse av stort antal resultat:

  • Skulle det vara korrekt att dra slutsatsen att ett mynt alltid flippas huvud eftersom det hände en gång?
  • Om 50% av eleverna i en klass sa att de gillade hiphop, tror du det innebär 50% av eleverna på hela er skola föredrar hiphop?
  • Skulle du anta att om en person kastar en basketboll en gång och gör ett mål från halvplan, att hon är en bra skytt?

Här insåg de att få experimentella resultat med ovanstående frågor, inte var tillräckligt att göra förutsägelser. Hur ska vi få ett större urval? Elevernas förslag var att kombinera hela klassens data tillsammans då det förmodligen visade fler mönster. Vi fyllde i alla gruppers resultat gemensamt på tavlan.

9.

 

SPEL Så här många korrekta gissningar

Hur många rätta gissningar hade vi tillsammans?

EXPERIMENTELLA SANNOLIKHETEN

Hur många försök gjorde vi tillsammans?

Den relativa frekvensen

Antalet gynnsamma händelser/totala antalet försök

Singla slant 7+6+7+4+5+4+4+7+

4+4+4+5+2=63

10×15=150 63/150=0,42=42%
Kast av tärning
Dra ett rött kort
Dra en speciell färg
Dra ett exakt kort

 

10. Blev den experimentella sannolikheten annorlunda i fråga 7 och 9? Varför eller varför inte?____________________________

  1. Jämför nu de teoretiska sannolikheterna i fråga 7 med de experimentella   sannolikheterna i fråga 9? Vad tror du skulle hända om ännu fler försök tillkom?_______________________________________

 

Som en avslutning på denna lektion, diskutera och gör jämförelser med eleverna om teoretiska och experimentella sannolikheten. Beroende på deras data, bör det finnas ett mönster där den experimentella datan börjar att komma närmare de teoretiska beräkningarna. Det är möjligt att även med en klass av uppgifter blir fortfarande några resultat långt från den teoretiska sannolikheten. Om detta uppstår, bör den läggas till diskussionen om arten av sannolikhet. Du vet aldrig vad som kommer att hända med chans. Sannolikhet är bara ett verktyg för att göra förutsägelser.

Om tiden tillåter, diskutera exempelvis casinon och kalibrering, eller tärning. Eller använd ett lyckohjul (digitalt). Påpeka de experimentella och teoretiska sannolikheterna om du snurrar flera gånger. När antalet prövningar ökar, kommer de allt närmare den teoretiska sannolikheten. Förklara för eleverna att detta kallas de stora talens lag.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att arbeta med sannolikhetslära, proaktivitet, inlägg 1

Sannolikhetslära 

Utifrån vårt arbete med statistik där vi gjorde ett förtest kunde vi i frågorna med karaktär av sannolikhetslära uppmärksamma vad eleverna redan kan, vad de har svårare med men också försöka se vilka kritiska aspekter eleverna kan ha inom området. Testet visade att eleverna inte hade några större problem med enkel sannolikhet vid enkla slumpförsök . Däremot när det kom till sammansatta händelser så blev det lite svårare. Detta gäller även kombinatoriken.

Vi fortsätter med att besvara denna fråga: Vad kan de när de kan sannolikhetslära?

Jo, då kan de:

  • Förklara vad som menas med begreppet sannolikhet
  • Räkna med likformig sannolikhetsfördelning
  • Beskriva hur sannolikhet kan bestämmas genom att göra praktiska försök
  • Räkna med kombinationer
  • Att använda utfallsdiagram vid beräkning av sannolikheter
  • Att använda träddiagram vid beräkning av sannolikheter
  • Att räkna med oberoende och beroende händelser

Begrepp:sannolikhet, chans, risk, händelse, möjligt utfall, gynnsamt utfall, multiplikationsprincipen, utfallsdiagram, träddiagram, P(händelse), probability, komplementhändelse, oberoende och beroende händelser, kombinatorik, experimentell sannolikhet.

Dessa kritiska aspekter kunde vi förvänta oss: svårighet med att förstå högst och lägst när det gäller exempelvis tärning, P(högst en trea). Det är nya begrepp som är nya för dem och kan innebära svårigheter. Man kopplar inte ihop bråk med procent.

Följande inlägg behandlar lektion nummer 1 som delvis innehåller praktiskt moment för eleverna.

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Det handlar inte om att göra formativa bedömningar utan om att göra bedömningar som har en formativ funktion.

Under arbetet med statistik har vi kontinuerligt gjort en pedagogisk bedömning, dvs vi har skaffat belägg för att fatta beslut i vår fortsatta undervisning. Våra beslut måste grundas på saker vi har tagit reda på och detta har våra entry- och exitticket hjälpt oss med.

När eleverna har deltagit i de olika aktiviteterna har vi haft ögonen öppna för att synliggöra deras lärande och sett varje lektion som ett tillfälle till att upptäcka vilka förmågor de visar och på vilken nivå dessa visats på. Denna bedömning har varit positiv och med det menar vi att eleverna måste få göra misstag och blotta det som de inte kan utan att bli bedömda. Det är alltså när de visar att de kan något med en högre kvalitet eller med samma kvalitet som vi gör en anteckning om vad vi sett. Det är viktigt att denna bedömning får en formativ funktion alltså att vi använder denna bedömning för att förbättra elevernas möjlighet att lära och då är det viktigt att vi synliggör för eleven vad vi sett så att han/hon lär sig att skilja på olika kvaliteter i de matematiska förmågorna som finns inbyggda i våra kunskapskrav. Tanken är att eleven ska kunna generalisera det de lärt sig och använda detta i nya områden som kommer att beröras inom matematiken.

När vi valde att låta eleverna arbeta med följande inlämningsuppgift som sedan skulle bedömas var det självklart att utformningen av bedömningssituationen måste utgå från vad jag vill att den ska göra och vad jag ska ha den till. Vi ville att uppgiften skulle vara ett tillfälle för eleverna att sätta ihop alla delar vi arbetat med i en helhet. Vi ville att de skulle tillsammans med en kamrat få möjlighet att lägga arbetet på en högre nivå då de är två i stället för en person. Vi ville ha möjlighet att gå runt och lyssna på grupperna när de resonerade kring svårigheter de hamnade i. När vi bedömt deras arbete utifrån följande uppgiftsspecifikation och bedömningsmall ville vi att det skulle bli tydligt för eleverna att se de olika kvaliteterna på E, C och A nivå. Då vi delat upp uppgiften i de matematiska förmågorna ville vi även få eleverna att rent konkret se vilka delar i uppgiften som hörde till vilken förmåga samt att de kunde se att de kunde visa samma förmåga på många olika delar. Att låta eleverna få se kvaliteter och en riktning i vad som krävs och behöver göras tror vi hjälper dem att generalisera de matematiska förmågorna in i nya utmaningar.

Här nedan ser ni själv uppgiften:

Lärandemål: lägesmåtten, vilseledande diagram, skillnad frekvenstabell och vanlig tabell, skillnad stolp- och stapeldiagram. Att kunna räkna ut lägesmått utifrån en text, tabell och diagram samt välja lämpligt lägesmått.

Ni ska planera och göra en egen undersökning. Ni väljer själva hur många personer ni tillfrågar om det är en sådan fråga ni väljer. Följande ska finnas med:

  • Ni måste redovisa i minst två lämpliga diagram
  • Redovisa era tabeller och diagram både på papper men också i numbers eller excel
  • Gör olika beräkningar av lägesmåtten på era undersökningar och vilket som är det mest lämpliga lägesmåttet att använda
  • Gör ett vilseledande diagram som tydliggör som tydliggör ett budskap
  • Svara skriftligt på följande fråga: om ni skulle fråga 1000 personer, hur kan ni då visa detta i de diagram ni valt, vilka förändringar skulle ni då göra?
  • Skriv vilken slutsats er undersökning gav

Nedan är en checklista som ni kan läsa igenom och tänka kring innan ni påbörjar ert arbete. Diskutera med en kamrat hur ni tänker lägga upp arbetet.

  1. Vilken frågeställning kommer ni ha? Frågar ni om saker, antal eller om förändring?
  2. Går frågan att misstolkas?
  3. Vilken/vilka sorts/sorters tabell/er behöver ni för att markera svaren?
  4. Vilka sorters diagram kommer ni att använda?
  5. Om ni skulle marknadsföra er undersökning, på vilket sätt skulle ni kunna vilseleda för att få fram ert budskap?

Här nedan ser du uppgiftsspecifikationen:

Uppgiftsspecifikation

Uppgiften prövar begreppen lägesmått, tabeller, diagram, vilseledande diagram samt hur dessa kan användas i en egen undersökning. Den prövar också likheter och skillnader mellan diagram och tabeller, samt förmågan att dra slutsatser av befintlig data i en undersökning.

Eleven kan genom sitt arbete visa följande förmågor.

Problemlösning Välja en frågeställning som inte kan misstolkas. Välja vilka diagram som passar bäst i sin undersökning samt reflektera över vilket lägesmått som passar bäst i sin undersökning. Att kunna presentera sin undersökning med en modell som kan användas i sammanhanget och att kunna använda sin modell och sätta in det i ett nytt sammanhang
Metod Använda metoder för att visa hur de kommit fram till lägesmåtten. Använda metoder hur man skapar diagram och tabeller samt hur man kan vilseleda. Använda digital teknik för att presentera data
Begrepp Visa kunskaper om matematiska begrepp och använda dessa i sin undersökning samt beskriva dessa när de växlar mellan olika matematiska uttrycksformer och visar hur begreppen hör ihop. Ex. på begrepp: tabell, frekvenstabell, vilseledande diagram, typvärde, medelvärde, median, x- och y-axeln, stolp-, stapel-, cirkel-, histogram- och linjediagram.
Resonemang Kan resonera hur begreppen hör ihop. Kan resonera kring likheter och skillnader i sin undersökning om de skulle göra om den igen och istället frågat 1000 personer. Drar en slutsats om sitt tillvägagångssätt och resultatets rimlighet och ser något förslag på alternativt tillvägagångssätt. Resonera hur de kan marknadsföra sin undersökning på ett vilseledande sätt.
Kommunikation Eleven kan använda olika sätt att uttrycka sina data på. Eleven kan beskriva olika begrepp på ett matematiskt sätt. Eleven behöver också göra detta digitalt.

 

Eleven kan genom sitt arbete visa följande missuppfattningar och brister:

  • Förstår ej skillnad på stolp- och stapeldiagram
  • Förstår ej att när man vilseleder så behöver an utgå från vad man ska vilseleda
  • Tror att man kan ta reda på alla lägesmåtten i alla undersökningar
  • Tror att det räcker att göra stolpar för att det ska vara ett stolpdiagram
  • Tror att typvärdet alltid måste vara ett värde
  • Blandar ihop vad som ska stå på x- respektive y-axeln
  • Förstår ej skillnad på en vanlig tabell och en frekvenstabell

Uppgiften relaterar till följande centralt innehåll:

  • Tabeller, diagram och grafer samt hur de kan tolkas och användas för att beskriva resultat av egna och andras undersökningar till exempel med hjälp av digatala verktyg. Hur lägesmått kan användas för bedömning av resultat vid statistiska undersökningar.
  • Värdering av valda strategier och metoder.
  • Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer.
  • Enkla matematisk modeller och hur de kan användas i olika situationer.

Här nedan ser du bedömningsmatrisen till uppgiften:

 

 

 

 

 

 

 

E C A
Problemlösning Välja en frågeställning som leder till en undersökning. Välja en frågeställning som inte kan misstolkas och har lämpliga svarsalternativ Välja en frågeställning som leder till data där du kan räkna ut lägesmåtten.
Visa sina data i två diagram Visa dina data i två lämpliga diagram
Formulera en enkel modell som med någon bearbetning kan användas i sammanhanget. Formulera en modell som kan tillämpas i sammanhanget. Formulera en modell som kan tillämpas i sammanhanget och även sätt in detta in nya sammanhang.
Kunna ta reda på något lägesmått i sin undersökning. Kunna ta reda på de lägesmått som går att använda i undersökningen och motivera varför något inte går. Kunna ta reda på de olika lägesmåtten. Motivera om det inte går och varför och reflektera över vilket lägesmått som passar bäst.
Metod Kunna använda en metod för att ta reda på något lägesmått. Kunna använda en metod för att kunna ta reda på alla lägesmått.
Använda ett sätt att skapa ett vilseledande diagram. Använda ett påstående utifrån sin undersökning och med viss bearbetning kunna vilseleda utifrån detta påstående. Utifrån ett påstående med gott resultat lyckas vilseleda
Använda en metod att skapa minst ett diagram och en tabell som är korrekt och som hänger ihop. Använda en metod för att skapa två diagram och en frekvenstabell som är korrekt och som visar samma data. Använda en metod som visar samma data i två diagram och en frekvenstabell som är korrekt och hänger ihop samt ett vilseledande diagram som även detta innehåller samma data.
Använda digital teknik för att presentera sin data.
 eleven har påbörjat ett cirkeldiagram med ungefärliga mått på cirkelsektorn. Eleven gör ett korrekt cirkeldiagram med korrekta mått på cirkelsektorn
Begrepp Kan använda några av de begrepp som förekommer i statistik i sin undersökning på ett fungerande sätt Kan använda de flesta av begreppen i sin undersökning på ett fungerande sätt
Visa att eleven kan beskriva och använda några begrepp när de skapar diagram och tabeller och visar hur begreppen hänger ihop. Visa att eleven kan beskriva och använda de flesta begrepp när de skapar diagram och tabeller och visar hur dessa hänger ihop. Kan använda begreppen och föra välutvecklade resonemang kring likheter och skillnader samt hur de relaterar till varandra när begreppen är användbara i olika sammanhang. Detta visar de i sin slutsats.
Resonemang Kan resonera hur begreppen hör ihop på ett enkelt sätt och det räcker med några få begrepp. Tex kan eleven visa att de behärskar två olika diagram och uttrycker samma data på olika sätt. Kan i beskrivningar av begreppen göra utvecklande resonemang hur begreppen hör ihop tex kan de föra ett resonemang om hur en tabell hör ihop med ett diagram eller tex varför du endast kan ta reda på medelvärde eller median om svaret på frågan i undersökningen avser ett värde. Här kan eleven göra samma som på E och C nivå men visar det på flera ställen.
Kan resonera kring någon likhet och skillnad i sina diagram på ett enkelt sätt om de gjort samma undersökning men frågat 1000 personer. Kan resonera kring likheter och skillnader genom att tydliggöra förändringarna som bör ske för att diagrammen ska vara lämpliga om undersökningen skulle omfatta 1000 personer. Detta gör de på ett utvecklande sätt. För ett välutvecklat resonemang kring båda sina diagram och/eller vilka förändringar de måste göra i frågan.

Visar förståelse för att cirkeln är 100% oavsett hur många de frågar.

Gör en slutsats när det gäller undersökningen och dess rimlighet och ger något förslag på ett sätt som till viss del för undersökningen framåt Eleven visar förståelse för att slutsatsen endast kan dras utifrån det lilla urvalet och inte generellt. Eleven visar förståelse för hur stor en undersökning bör vara för att vara generell.
Resonerar hur de kan marknadsföra sin undersökning vilseledande på ett enkelt sätt  Tex kan de bredda stapeln på svaret som de vill att fokus ska hamna på. Ett annat exempel kan vara att de inte börjar från noll för att visa att de vet strategier som man kan använda för att vilseleda Resonerar hur de kan marknadsföra sin undersökning vilseledande men på ett utvecklande sätt. Eleven visar här att de kan använda sina kunskaper om hur man kan vilseleda och vilseleder på ett sätt så det passar in i det som man vilseleder. Resonerar hur de kan vilseleda sin undersökning på ett välutvecklat sätt. Här kopplar de sitt vilseledande diagram direkt till frågan och vilseleder på ett korrekt sätt.
Kommunikation använda ett enkelt sätt att uttrycka sina data på som går att följa. Använda ett utvecklat matematiskt sätt att uttrycka sina data på som går att följa. Använda ett välutvecklat matematiskt sätt att uttrycka sina data på som går att följa.
Kan beskriva olika begrepp med ett enkelt matematiskt språk. kan beskriva olika begrepp på ett utvecklat matematiskt språk. Kan beskriva olika begrepp på ett välutvecklat matematiskt språk.
  Har visat att eleven kan använda ett kalkylprogram.

När vi bedömde uppgiften använde vi en vanlig överstrykningspenna och markerade då vilka nivåer (kvaliteter) samt vilka olika delar de fått med i sitt arbete under varje förmåga.

Vi tar tacksamt emot feedback på vårt arbete kring statistik och hade då tyckt det var särskilt roligt om någon provade att följa vår planering med andra elever och sedan återkoppla till oss så att vi tillsammans kan göra arbetet bättre.


Prenumerera på nya blogginlägg

Att tolka och värdera samt motivera sina svar. (statistik)

Detta är en fortsättning på föregående inlägg.

Lektion 6: Våra lärandemål är vilseledande diagram. Att kunna se varför de är vilseledande men också kunna förstå hur man själv skapar ett vilseledande diagram när man bestämt sig för vad det är man vill vilseleda.

Till denna lektion hade eleverna i läxa att titta på följande filmer:

del 1 : https://youtu.be/cvKt5Wqg8m8

del 2: https://youtu.be/Gf90TxVZUrg

Båda filmerna handlar om vilseledande diagram.

Eleverna fick sedan göra följande entryticket individuellt:

Vi förde sedan en gemensam diskussion i klassen för att komma fram till varför bilden är missvisade.

Eleverna fick nu arbeta parvis med liknande uppgifter där de fick skriva ner varför diagrammen är vilseledande samt ta ställning hur diagrammen skulle kunna se ut i stället.

Vi diskuterade i helklass vad de kommit fram till och nu var eleverna redo att själva försöka vilseleda en undersökning med hjälp av ett diagram.

De fick lite olika diagram med rubriker vad undersökningen handlat om och parvis fick de nu skriva en ny rubrik som syftade på att vilseleda tex ingen i Sverige gillar sporter eller OLW är den mest köpta chipssorten och sedan skapa ett vilseledande diagram men med rätt data införda.

Lektion 7: Vårt lärandemål är att eleverna ska kunna avgöra vilket lägesmått som passar bäst att använda i olika sorters undersökningar.

Till denna lektion hade eleverna tittat på följande film: https://youtu.be/XofVaKTRKmw tid 12,59 till 18,12 in i filmen

Eleverna fick individuellt göra följande entryticket:

Frågan som eleverna fick till denna uppgift var vad är typvärdet, medelvärdet samt medianen på denna undersökning. Vi gör sedan den tillsammans i helklass. Vi använder elevernas svar och skriver upp dessa på tavlan som är följande:

Typvärdet: Hund, 5 och 2.  Parvis får de sedan diskutera sig fram till rätt svar och vara beredd med en motivering i helkass så att vi kan enas om vilket svar som är rätt och varför.

Medelvärde: Där finns inget medelvärde, 10/4=2,5, 10/10=1 och 4/10=0,4. Vi gör på samma sätt, eleverna får parvis diskutera sig fram vilket svar som är rätt och plocka bort de felaktiga med en motivering.

Medianen: Där finns ingen median, 1,2,2,5,10 alltså är medianen 2 och slutligen hund, hund,hund,hund,hund, katt,katt, häst, fågel, fågel (Hund och katt hamnar i mitten) 2/2=1. Även här enas vi tillslut om vilket svar som är rätt och varför.

Nu har eleverna med sig att det är inte alltid man kan utläsa alla lägesmåtten i en undersökning.

De får nu nästa uppgift som ska lösas individuellt:

Med denna uppgift vill vi få med progressionen att nu kan man ta reda på alla lägesmåtten men vilket är det bästa värdet att använda.

Frågan vi ställer till eleverna blir därför följande: Ta reda på de lägesmåtten du kan ta reda på och bestäm vilket som är det bästa värdet att använda sig av för att ge en rättvis bild av denna undersökning.

Även här får vi felsvar på både median, typvärde och medelvärde och dessa reder vi ut på samma sätt som vid första uppgiften.

Frågor som vi även diskuterar är om det kan finnas flera typvärden och vad är maxgräns för antal typvärde. Viktigt är att eleverna förstår innan vi går vidare att i detta fall är det medianen som är det bästa lägesmåttet och varför.

Vi avslutar denna lektion med en exitticket som har exakt samma matematikinnehåll som den förra men där medelvärdet är det bästa lägesmåttet att använda.

 

Lektion 7-9

Eleverna får knyta ihop alla lärandemål med följande inlämningsuppgift. Denna arbetar de med parvis. Hur vi tänkte kring bedömningen av denna uppgift kommer i nästa inlägg samt hur vi tänker kring bedömning av alla statistiklektioner.

Inlämningsuppgift

Lärandemål: lägesmåtten, vilseledande diagram, skillnad frekvenstabell och vanlig tabell, skillnad stolp- och stapeldiagram. Att kunna räkna ut lägesmått utifrån en text, tabell och diagram samt välja lämpligt lägesmått.

Ni ska planera och göra en egen undersökning. Ni väljer själva hur många personer ni tillfrågar om det är en sådan fråga ni väljer. Följande ska finnas med:

  • Ni måste redovisa i minst två lämpliga diagram
  • Redovisa era tabeller och diagram både på papper men också i numbers eller excel
  • Gör olika beräkningar av lägesmåtten på era undersökningar och vilket som är det mest lämpliga lägesmåttet att använda.
  • Gör ett vilseledande diagram som tydliggör ett budskap
  • Svara skriftligt på följande fråga: Om ni skulle fråga 1000 personer, hur kan ni då visa detta på de diagram ni valt, vilka förändringar skulle ni då göra?
  • Skriv vilken slutsats er undersökning gav och vilka eventuella förändringar ni skulle vilja göra om ni fick chansen

 

Nedan är en checklista som ni kan läsa igenom och tänka kring innan ni påbörjar ert arbete. Diskutera med din kamrat hur ni tänker lägga upp arbetet.

 

  1. Vilken frågeställning kommer ni ha? Frågar ni om saker, antal eller om förändring?
  2. Går frågan att misstolkas?
  3. Behöver ni olika svarsalternativ?
  4. Vilken/vilka sorts/sorters tabell/er behöver ni för att markera svaren?
  5. Vilka sorters diagram kommer ni att använda?
  6. Om ni skulle marknadsföra er undersökning, på vilket sätt skulle ni kunna vilseleda för att få fram ert budskap

 

 

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att arbeta med kontraster. (statistik)

Detta inlägg är en fortsättning på föregående inlägg.

Inför lektion 4 fick eleverna i läxa att titta på följande film som visar olika sorters diagram: https://youtu.be/jaeo_XdWBT0

Våra lärandemål: inför kommande lektioner:

Skillnad på frekvenstabell och vanlig tabell. Skillnad på stolp- och stapeldiagram. När använder du de olika sorterna av diagram (linjediagram, histogram, stolpdiagram, stapeldiagram och cirkeldiagram) Att kunna ta reda på lägesmåtten utifrån en tabell eller ett diagram.

Lektion 4:  Nästa steg var att göra en ny entryticket där de utifrån en frekvenstabell skulle ta reda på medelvärde, typvärde och median. De skulle också redovisa tabellens data i ett diagram. Uppgiften är tagen från skolverkets diagnosmaterial ”diamant” Problemet för många var här att reda ut lägesmåtten eftersom det var ett värde på x-axeln och utifrån deras felsvar kunde vi tillsammans reda ut hur de skulle gå tillväga. Vi pratar även om vad en frekvenstabell är och vad man använder en sådan till.

Resterande tid arbetade de enskilt eller i par med NOMP och då uppgifter där de skulle ta reda på lägesmåtten utifrån en tabell eller ett diagram men också en text. En kritisk aspekt här är att eleverna har mycket svårare att ta reda på lägesmåtten när de ska tolka en frekvenstabell eller ett diagram än vad de har när de utgår från en text.

Lektion 5:

Syftet med denna lektion var främst att eleverna skulle förstå skillnaden mellan ett stapeldiagram och ett stolpdiagram och hur man använder dessa samt skillnaden på en vanlig tabell och en frekvenstabell.

Vi valde att ställa frågan ”hur många syskon har du?” till 5 elever i helklass. Vi dokumenterade deras svar i två olika tabeller på tavlan efterhand som de svarade. Viktigt vad att eleverna tydligt kunde se att detta var exakt samma data vi dokumenterade men på två olika sätt.

Under tiden diskussionen fördes redde vi igen ut begreppet frekvens och vikten av rubriker i de olika kolumnerna samt vilken kolumn som hör till x resp y axeln.

Nu var det dags att göra två olika diagram och eleverna fick diskutera två och två om det skulle vara samma typ av diagram på båda eller ett stolp- och ett stapeldiagram. När vi var färdiga såg det ut så här:

Under tiden vi gjorde dessa diagram så diskuterade vi aspekter som x- och y-axeln. Avstånden mellan värdena samt att ha lika stort värde mellan varje värde på y axeln. Att staplarna ska vara lika breda i ett stapeldiagram. Att när vi har värden på x- axeln så ska vi göra ett stolpdiagram. Vad är ett värde egentligen och vad är en kategori för ibland kan ju en kategori verka vara ett värde som i vårt fall person 1, 2, 3, 4 och 5. vi kontrollerade också att vi fick samma lägesmått på båda uttrycksformerna, vilket vi skulle få eftersom det var samma undersökning. Eleverna fick titta på skillnader och likheter med de två olika sätten att uttrycka sig på med samma data.

Eleverna fick sedan skapa en liknade uppgift med lösningar som de lämnade in som en exitticket.

Nästa inlägg handlar om hur vi fortsatte att arbeta med vilseledande diagram samt hur vet jag när jag ska använda vilket lägesmått. I det inlägget lägger vi också in vår stora exitticket som blir ett sätt att knyta ihop alla de lärandemål vi arbetat med.

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att ha matematikinnehållet klart för sig. (statistik)

Detta inlägg är en fortsättning på föregående inlägg.

Lektion 2 statistik:

Tills denna lektion hade eleverna tittat på två filmer som tog upp typvärde, medelvärde och median.

Medelvärde och medianlänk https://youtu.be/ItH8KZoRkNU?list=PL1LMd1Wsj2JU-W-Xfy7Gy8rwZVCdw8t0S

Typvärdelänken: https://youtu.be/yEFCfh2UjWA

På tavlan stod lektionens lärandemål: att träna alla matematiska förmågor, se sambanden mellan räknesätten och kunna använda sig av denna kunskap samt att förstå och kunna ta reda på medelvärde, median och typvärde.

Vi startade lektionen med att eleverna fick göra en entryticket:

Denna samlade vi in och eleverna kunde efter lektionen be att få ändra i den om de ville. Nu var det dags att presentera dagens problemlösningsuppgift som är tagen från boken 32 rika problem i matematik av Maria Larsson. Eleverna fick arbeta enskilt under några minuter för att sätta sig in i problemet för att sedan lösa problemet parvis. Under tiden eleverna arbetade gick vi runt och ställde stöttande frågor med fokus på att föra deras resonemang framåt och fördjupa sin förståelse för lägesmåtten och skillnaden mellan dessa.

Vid avslutade lektionen med att samla in deras olika lösningar och de som ville ändra i sin entryticket gjorde det. Inför nästa lektion tittade vi i genom lösningarna för att välja tre olika familjer av lösningar som vi tillsammans med eleverna skulle redovisa på nästa lektion.

Lektion 3: Vi gick igenom förra lektionens entryticket. Vi presenterade de olika familjerna av lösningar och använde oss då av elevernas kommunikation i sina häfte som vi fotograferat.

Vi fick förutom intressanta diskussioner när det gäller lösningsmetoder också en naturlig diskussion när det gäller kommunikationsförmågan och eleverna blev uppmärksammade på vad de ska tänka på när de kommunicerar sina lösningar.

Eleverna fick nu lösa ett liknande problem ( samlarbilder) som är hämtat från boken ”rika matematiska problem” med någon omarbetning för att få en progression från ursprungsproblemet.

Vad eleverna upptäckte när de löste detta problem var nu att det var inte ett problem längre utan snarare en uppgift där de fick ytterligare befästa sina kunskaper.

Vad de nu hade visat att de klarade av var att ta reda på lägesmåtten utifrån en text då de har verktygen och metoderna att ta reda på dessa, de har också visat att när de har medelvärdet så kan de använda sambandet mellan räknesätten för att ta reda på mer information. De har också visat att de kan lösa ett matematiskt problem när de har begreppen och metoderna klart för sig. När de löste ursprungsproblemet så hamnade de i svårigheter men med hjälp av stöttande frågor och resonerande tog de sig förbi svårigheterna. Nu var det dags för nästa steg i statistikarbetet. Detta inlägg finns att läsa i morgon.

 

 


Prenumerera på nya blogginlägg

Att arbeta med statistik i en sjua

 

Statistik kan sägas vara vetenskapen om hur man samlar in, organiserar, tolkar och presenterar data. Vi började med en kort introduktion som handlade om vad som ingår i området statistik, vad det innebär kopplat till vardagslivet samt relationerna mellan statistik och matematik. Vi nämnde även en del begrepp som de skulle få möta som tabell, diagram, graf, statistiska undersökningar, lägesmått. Vi pratade också om vikten av att kunna variera sig mellan olika uttrycksformer för att kunna stärka förmågan att kunna växla mellan olika begrepp. Eleverna behöver förstå att som medborgare måste man kunna avgöra vilken information som är viktig och hur den ska tolkas

Innan vi startade detta område hade vi gjort ett förtest och då sett att vi kommer att behöva undervisa om följande lärandemål: Lägesmåtten (att förstå dessa var för sig och hur du tar reda på dessa mått utifrån en text, tabell eller ett diagram. Att skilja lägesmåtten åt samt att kunna veta när det passar bäst att använda sig av ett eller flera lägesmått.) Diagram (Bli bekant med olika sorters diagram såsom histogramcirkeldiagram, lådagram, stolp-, linje- och stapeldiagram. Att kunna avgöra vilket diagram som passar bäst i olika sammanhang samt skillnaden mellan dessa olika diagram. Eleverna ska både kunna skapa sådana diagram samt kunna läsa av andras.) Eleverna ska förstå vad en frekvenstabell innebär samt när och hur man använder en sådan. Eleven ska förstå vad ett vilseledande diagram är samt kunna skapa ett eget. De ska kunna se vad som är vilseledande i ett diagram och motivera varför det är vilseledande.

När de arbetar med området statistik är det viktigt att de får utveckla alla fem matematiska förmågor och då helst ska de få möjlighet att utveckla alla förmågor på varje lektion. För att riktigt få eleverna komma igång gjorde vi en diskussionsövning som vi tog från NCM och deras strävor.

I de följande tre inläggen beskriver vi mer ingående om hur vi arbetade med våra lärandemål under cirka nio lektioner.


Prenumerera på nya blogginlägg

Når vi målen genom mer problemlösning?

Vi vidareutvecklar våra lektioner i klasserna. Vi har båda varit nyfikna på att testa mer problemlösning på lektionerna, vi ser att vi får med oss alla förmågorna men kan vi vara säkra på att innehållet speglar allt i det centrala innehållet och kan vi vara säkra på att vi får med oss alla i klassen? Det vi tidigare sett när vi arbetar med problemlösning är vilka vinster vi gör med det och att våra elever upplever att de lär sig som mest vid problemlösning. Ett exempel är att addera bråk med olika nämnare. Om eleverna sitter och gör sådana beräkningar, så kommer de också behärska detta för stunden, men frågan är hur länge kunskapen sitter i och när har de användning för detta? Risken är då väldigt stor att det är en kunskap som inte är långlivad och att eleverna har också svårigheter att koppla samman addition av bråk med procentberäkning och då också se när vilket är bäst att använda och varför. Jämfört med att ge ett rikt problem där eleverna tydligt kan se nyttan av att kunna addera bråk och då också efterfråga mer kunskap. Efter att ha studerat olika läroböcker i matematik har vi svårt att se en progression tydligt, de har ofta samma innehåll, en kortare repetition, sedan övning för att sedan lägga på ett nytt moment. Vi förundras över att innehållet i  läroboken för åk 5 har nästan samma innehåll som åk 9 !, då undrar vi vad eleverna egentligen lär sig, vi ställer oss frågan om eleverna kan detta redan i åk 5, borde inte åk 9 har kommit mycket, mycket längre då?

Hur vill vi gå tillväga

Utifrån vilka lärandemål vi har tar vi fram ett problem där vi ser att lärandemålen finns med. Vi löser problemet och försöker hitta så många lösningsförslag som möjligt men också se var svårigheterna eller missuppfattningar kan finnas, vi skapar stödfrågor som kan få eleverna framåt i lösningsförfarandet och vi försöker förutse vilka svårigheter eleverna kan hamna i och då ser vi också vad vi behöver undervisa om. Vi överblickar gruppernas arbete, noterar vilka strategier de har och stöttar dem när de behöver. Det kan hända att de flesta fastnar vid samma ställe och då får vi ta ett litet kortare avbrott för genomgång. Vid nästa lektionstillfälle lyfter vi elevernas olika lösningar. Här är det viktigt att vi sett vilken lösning som bör komma först och varför. Vi måste hela tiden ha  lärandemålen framför oss, samtliga elever bör se kopplingarna mellan de olika lösningarna men också se och följa med på hur olika grupper har tänkt, allt för att ge eleverna fler tankesätt och andra metoder. Härefter får grupperna skapa egna liknande problem, lösa detta och eventuellt byta med klasskamrater. Sista lektionen blir mer uppdelad utifrån önskemål och behov. Det finns elever som vill ha men också efterfrågar mer genomgång men också elever som vill eller behöver träna mera på metodnivå och ytterligare några önskar gå djupare i svårare uppgifter. Detta blir då mer individanpassat och ökar elevernas möjlighet till att bli självreglerande.


Prenumerera på nya blogginlägg

Vad gör jag för fel?

-Hur många gånger ska jag undervisa om samma sak? -Eleverna kunde ju det förra veckan. -I den klassen går det många som har svårt för matematik. -De har inte fått någon bra undervisning i de lägre åldrarna. –Eleverna lyssnar inte så de får skylla sig själva. -Nu måste vi gå vidare.

Handen på hjärtat, de flesta av oss har någon gång känt, tänkt eller till med sagt det rakt ut någon gång. Är det verkligen så att det beror på eleverna eller kanske är det dags att ställa sig frågan, vad gör jag för fel? För det måste väl ändå bero på vår undervisning att eleverna inte befäster det matematiska innehåll som vi arbetade med under lektion/lektionerna. Oftast ställer sig lärarna just den frågan samt reflekterar över hur de kan göra i stället, de flesta gör säkert om lektionen men på ett annat sätt men lyckas ändå inte. Vad är det då vi kan förändra?

För några år sedan när Dylan Wiliams tankar och förhållningssätt kring en formativ praktik blev stort i Sverige, presenterades också en del verktyg som hjälpte lärarna att synliggöra elevernas lärande. Ett av dessa verktyg som vi då började använda systematiskt i vår undervisning var exitticket. För oss blev det då tydligt om vår undervisning hade varit tillräckligt bra så länge vår exitticket var formulerad så att eleverna inte bara visade något de lärt sig memorera. Det blev ett kvitto på om vi kunde gå vidare eller om vi måste undervisa om samma sak på ett annat sätt vid nästa lektionstillfälle för vi kan ju inte gå vidare om eleverna inte förstår.

Nästa steg var att fundera på, hur ska jag då undervisa i stället så de verkligen ska äga kunskapen och inte bara lära sig det för stunden? Till exempel kunde eleverna uppgift efter uppgift räkna ut arean på olika figurer. Reflektionen blir då naturligtvis att nu förstår de areabegreppet, men när eleverna då fick se en cirkel och samtidigt få svara på frågan, har denna figur någon area så blev svaret att den har ingen area. Det räcker inte att eleverna har en god kunskap om ett begrepp och förstår detta begrepp om de inte kan sätta in denna begreppsuppfattning i olika sammanhang samt att visa på samband med andra begrepp. Vi måste arbeta med att eleverna får urskilja ett begrepp men också särskilja det från andra begrepp. Vi måste alltså visa på skillnader snarare än likheter.

Egentligen är det rätt enkelt. Tänk dig enäggstvillingar. Du är van vid att bara träffa den ena enäggstvillingen och du tycker att du kan känna igen honom eller henne på många saker både rent utseendemässigt men också personligt. Helt plötsligt träffar du båda tvillingarna och du har ingen aning vem som är vem för du har bara lärt dig känna igen den ena tvillingen. För att kunna se skillnad på dem så måste du nu göra en jämförelse och titta på skillnaderna i deras utseende och om du även vill lära känna den andra tvillingen så kräver det att du även lär känna dennes personlighet och snart kommer du att upptäcka inte bara likheterna utan också skillnaderna i deras personlighet. När du har gjort detta kommer du förmodligen inte att ta fel på dem igen.

När vi senare mötte variationsteorin som bygger på variationsmönster, att visa på skillnader, att arbeta utifrån kritiska aspekter samt att generalisera och slutligen transformera sin kunskap känner vi att den teorin hjälper oss att koppla vår praktik till teori och därmed låta vår erfarenhet i praktiken vara underlag för vår egen forskning på en vetenskaplig grund. Vi tror naturligtvis inte på att bara utgå från en speciell teori och försöker därför att ta del av mycket forskning som både ger oss nya tankar men också det som bekräftar att vi är på rätt spår även om vi ofta fortfarande undrar vad gör vi för fel.

Om du är intresserad av att läsa mer om variationsteorin så ser boken ut så här:


Prenumerera på nya blogginlägg

Är elever rädda för ekvationer?

Vi har inte gjort någon djupare undersökning eller analys till det påstådda men det hade varit väldigt intressant att fördjupa sig i vår känsla. Känslan är elevernas rädsla för variabler och då förlängningen av dessa som ekvationer. Vi träffar rätt många elever på vår resa och det som vi reagerar på är deras kollektiva reaktioner för variabler, nästan som tillbakaryggande. Användningen av ekvationer är ju en viktig del i problemlösningen men det kommer inte självmant, dessutom när en ekvation presenteras har förvånansvärt många glömt hur man ens löser en enkel ekvation och då pratar jag ändå högstadium. Vid problemlösning brukar eleverna redovisa sina lösningar och resonera kring dem i grupp. Väldigt ofta saknas den algebraiska metoden men vi lyfter den också. Nu har vi börjat att nyfiket fråga gruppen, vad är det som känns svårt? -Det är när ni skriver X? Vad är det som gör att det känns svårt och jobbigt när ni ser X? -Det ser väldigt proffsigt ut och matematiskt ut svarade en elev. -Jag förstår det inte säger en annan. -Jag vet inte hur jag ska räkna ut den säger en tredje. Detta måste innebära att vi presenterar variabler fel eller på fel sätt när vi introducerar variabler i skolan? I det centrala innehållet för åk 1-3 står det bla

  • De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer,
  • Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse

Ur det centrala innehållet för åk 4-6

  • Obekanta tal och dess egenskaper samt där det finns situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol
  • Enkla algebraiska uttryck och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven
  • Metoder för enkel ekvationslösning

Att arbeta med prealgebra är då extra viktigt, tex att eleverna ser sambandet mellan alla räknesätten, tex 4 +3 =7, men också att 7 – 4 =3 och att då är 7 – 3 =4 eller 4 = 7 – 3, eller 5 · 4 = 20, 20 / 4 = 5, eller 20 / 5 = 4. Då blir det kanske inte så svårt att förstå balansmetoden vid ekvationslösning. En fälla är också när det gäller enkla ekvationer, de är vid introduktion ofta för enkla, dvs eleverna kan lösa dem i huvudet och då lägger de heller inte för mycket kraft i att visa uträkningarna. Hela begreppen och innebörden riskerar då att gå förlorad.

Vi försöker nå elevernas förståelse genom problemlösningen. Tillsammans visar vi ständigt  olika lösningsförslag, värdera för- och nackdelar med varje lösning och försöka värdera dem, d.v.s vilken lösning är mest effektiv eller generell?, försök skapa ett eget liknande matematiskt problem och lös den är också väldigt effektiv vid förståelse av algebra. Vid nästa tillfälle kan man välja några elevers problem alternativt ett nytt problem. När det gäller problemlösning går många problem att lösa med hjälp av algebra. Fler och fler elever väljer att prova algebraiska metoder och skapar då en större förståelse för själva metoden men upptäcker också den kraft en ekvationslösning kan ha. Vi tror också att en fara är att arbeta med ekvationer enbart som ett kapitel i en lärobok har sina fällor, en är att eleven tror att ekvationer endast hör till kapitlet och inte till livet som ett hjälpmedel till lösningar! Via problemlösningen övar vi också på de fem matematiska förmågorna. Vi kanske är på rätt väg om vi vågar nå elevernas förståelse för ekvationslösning, algebra och variabler via problemlösning?

  • formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,
  • använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
  • välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,
  • föra och följa matematiska resonemang, och
  • använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

Prenumerera på nya blogginlägg